variabeln und quadratische ergänzung

Question

x²-6x quadratische ergänzung bitte helfen ich verstehe das alles nicht ich brauche noch mal am besten eine ausführliche erklärung

Answer 1

Hi Linda,

probieren wir es nochmal :-)

Es gibt 3 binomische Formeln:

1. (a + b)² = a² + 2ab + b²

2. (a - b)² = a² - 2ab + b²

3. (a + b) * (a - b) = a² - b²

In diesem Zusammenhang sind für uns nur die ersten beiden interessant.

Du könntest natürlich zum Beispiel auch schreiben

(x + y)² = x² + 2xy + y²

um Dir das klarer zu machen; die Verwendung von a und b ist aber üblich.

Bei der quadratischen Ergänzung geht es darum, das letzte Summenglied (also das y²) so zu ergänzen, dass wir auf eben eine dieser binomischen Formeln kommen.

Wir haben gegeben

x² - 6x

Wir müssen also - wegen des Minuszeichens - irgendwie auf die 2. binomische Formel kommen:

(x - y)² = x² - 2xy + y²

Also

-6x = - 2xy | * (-1)

6x = 2xy | : x

6 = 2y | : 2

y = 3

Und dies müssen wir quadrieren, um auf y² zu kommen, also

y² = 3² = 9

Das ist unsere quadratische Ergänzung!

Wir kommen also auf

x² - 6x + 9 = (x - 3)²

Nun haben wir aber 9 hinzuaddiert, müssen es also, um den Ausdruck nicht zu verändern, auch wieder subtrahieren:

x² - 6x + 9 - 9 = (x - 3)² - 9

Warum macht man das Ganze?

Mit dieser Scheitelpunktform sieht man sofort, wie der Graph aussieht:

Es ist die Normalparabel, um 3 nach rechts und um 9 nach unten verschoben:

und dies entspricht eben genau der ursprünglichen Funktion f(x) = x² - 6x:

Ich hoffe, dass es jetzt ein wenig deutlicher geworden ist :-)

Besten Gruß

Comments

Vielen lieben Dank! Jetzt habe ich es begriffen..bei der vorherigen Erklärung bin ich nämlich in der Mitte hängen geblieben aber jetzt schritt, schritt klappt das gut.. die Bilder die du mir geschickt hast haben mir auch noch mal geholfen und wahrscheinlich werde ich diese für meinen Vortrag auch nutzen!! Ich danke dir wie verrückt!!!!! :-)

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Klasse Linda, freut mich sehr!

Viel Erfolg für Deinen Vortrag!!

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Das hat zwar jetzt gedauert ehe ich zurück schreibe aber ich habe es begriffen!

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Sehr schön!!

Weitere Fragen sind immer willkommen :-)

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Danke..:) Das ist soo lieb...ich wünsche dir noch einen schönen Abend!

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Auch Dir ein herzliches Danke :-)

Einen schönen Abend und eine gute Nacht wünsche ich Dir!!

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Danke.:) dir natürlich auch eine gute nacht.:)

Answer 2

Hi,


Du nimmst die Zahl vor dem x, also -6 und teilst es durch 2 und dann quadrierst Du es und schon hast Du deine Quadratische Ergänzung, aber du musst es dann natürlich wieder direkt abziehen, weil sich nichts verändern darf!

Ziel dabei ist es, dass ein quadratisches Binom entsteht.


So sieht die "Formel" der quadratischen Ergänung aus: $$ \begin{pmatrix} \frac { p }{ 2 }\\    \end{pmatrix}^2 $$

und die Zahl vor dem x also die -6 eingesetzt für p ergibt: $$  \begin{pmatrix} \frac { -6 }{ 2 }\\    \end{pmatrix}^2= 9$$

also ist deine quadratische Ergänzung 9 oder 3², denn das ist ja auch 9.

Also schreibst Du:

x²-6x+9-9

jetzt solltest Du erkennen, dass die ersten 3 Summanden in der Klammer die 2. Binomische Formel ergeben und das kannst Du nun zusammenfassen zu:

(x-3)²-9

Und schon bist Du fertig!