Bestimmen Sie die Menge D = {(a,b) ∈ R^2 | f(a,b) ist diagonalisierbar}

Question

Für jedes (a,b) ∈ R^2 haben wir den Endomorphismus

f(a,b) : R^3 → R^3, (x1, x2.x3) 7→ (x1, ax1 + bx2 + x3,−x3)

Bestimmen Sie die Menge D = {(a,b) ∈ R^2 | f(a,b) ist diagonalisierbar} und bestimmen Sie für jedes (a,b) ∈ D eine Basis A von R^3, so dass Mf(a,b),A,A eine Diagonalmatrix ist.

Wer kann mir bei dieser Aufgabe helfen? Danke.

Comments

Beim einmaligen kurzen Überfliegen der Aufgabe würde ich sagen, dass du zunächst am besten die darstellende Matrix bzgl. der kanonischen Basis bestimmst. Anschließend kannst du dir Gedanken machen, wann diese diagonalisierbar ist (Stichworte: Charakteristisches Polynom, Eigenwerte, Geometrische Vielfachheit, Algebraische Vielfachheit)