Zeigen sie, dass A diagonalisierbar ist

Question

Aufgabe:

Sei n ∈ N und A ∈ R^2x2 so, dass A3 − A2 = 2A − 2E_n ist. Zeigen Sie, dass A dann
diagonalisierbar ist.

Problem/Ansatz:

Soweit ich weiß, muss ich ein Polynom f bilden und zeigen, dass es in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt, um somit zu zeigen dass das Minimalpolynom von f ebenfalls in Linearfaktoren zerfällt. Damit wäre A dann diagonalisierbar. Aber das E_n verwirrt mich hier ein bisschen.

Mein Ansatz wäre normalerweise:

$$A^3-A^2 = 2A-2E_{n} \Longleftrightarrow A^3-A^2-2A+2E_{n}= 0 \\ Sei f \in \mathbb{R}[X] mit f= x^3-x^2-2x+( ??? ) \\ \text{ Im Weiteren hätte ich f dann in Linearfaktoren aufgeteilt,jedoch weiß ich nicht was an der Stelle von} \quad E_{n} \text { stehen muss }$$

Comments

Kennst du den Satz von Cayley?

Für \(2E_n\) schreibst du \(2\)  beim charakteristischen Polynom.

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Okay, in dem Fall würde das Polynom aber nicht in Linearfaktoren zerlegbar sein.

Ist mein Ansatz falsch?

Answer 1

\( A^3-A^2-2A+2E\) lässt sich umsortieren zu

\( A^3-2A-A^2 +2E= A(A^2-2E)-(A^2-2E)= (A-E)(A^2-2E)\)

Kannst du

\((A-E)(A^2-2E)=0\) lösen?

Comments

Wenn ich ehrlich bin, nein. Ich verstehe schon den Schritt nicht:

$$A(A^2−2E)−(A^2−2E)=(A−E)(A^2−2E)$$

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Das nennt sich "Distributivgesetz".

Wäre A keine Matrix, sondern eine einfache Zahl, würde da stehen

A*(Klammer)-(Klammer)=(A-1)*(Klammer).

Da wir hier aber bei Matrizen sind, übernimmt die Einheitsmatrix E die Rolle des Faktors 1, denn \((A^2-2E) \) ist das Gleiche wie \(E*(A^2-2E) \).

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Ah okay, klar. Zumindest habe ich die Umformungen jetzt schonmal verstanden. Aber wie ich $$A^2-2E$$weiter in Linearfaktoren aufgelöst bekomme, weiß ich leider trotzdem nicht. Da steh ich irgendwie auf dem Schlauch, echt peinlich

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Wie wäre es mit A=±(√2)*E?

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Also wäre die gesamte Linearfaktorzerlegung dann

$$(A−E)(A−(√2)*E)(A+(√2)*E)=0$$ und somit f in paarweise versch. Linearfaktoren zerfallen. Ich hatte im Kopf, dass Linearfaktoren nur ganzzahlig sein können, also sowas wie (x-1)(x-2)...

Vielen Dank für deine Hilfe, hast mir das ganze ein bisschen klarer gemacht :)

Answer 2

Hey Lil,

Ist mein Ansatz falsch?

nein, dein Ansatz ist sehr gut!

Es gilt \( A^3 - A^2 - 2A + \color{red}{2}E_n = 0 \), also betrachte das Polynom \( f := x^3 - x^2 -2x + \color{red}{2} \in \mathbb{R}[x] \). Für das Absolutglied nimmst du einfach die Zahl vor der Einheitsmatrix, dann ist \( f(A) = 0 \).

Jetzt faktorisiert man dieses Polynom in \( \mathbb{R}[x]  \): \( f = (x-1)(x^2 - 2) =(x-1)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \).

Wegen \( f(A) = 0 \) teilt das Minimalpolynom \( \mu_A \) von \( A \) das Polynom \( f \), in Zeichen: \( \mu_A \mid f \).

Da \( f \) in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt muss also auch das Minimalpolynom \( \mu_A \) in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfallen. Das ist äquivalent zur Diagonalisierbarkeit.