Also die Bernoullische Ungleichung beweist man so
Behauptung: \( (1+x)^n\le 1+nx \) für \( x\le-1 \) und \( n\in \mathbb{Z} \ge 0 \)
Induktionsanfang:
\( n=0 \) Es gilt \( (1+x)^0=1\le1 \) also stimmt die Behauptung für \( n=0 \)
Induktionsvoraussetzung:
Es gilt \( (1+x)^n \ge 1+nx \)
Induktionsschluss:
Zu zeigen ist, dass gilt
\( (1+x)^{n+1} \ge 1+(n+1)x \)
Beweis:
$$ (1+x)^n(1+x)\ge (1+nx)(1+x)=1+x+nx+nx^2\ge 1+(n+1)x $$
qed
