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ich habe kurz eine Frage bezüglich der folgenden Aufgabe:

"Formulieren Sie eine Version des Induktionsprinzips mit welcher sich die Aussage in der nächsten Teilaufgabe lösen lässt. "

Was ist gemeint?

Ich weiß, dass in der Teilaufgabe die Bernoullische Ungleichung mithilfe der vollständigen Induktion zeigen muss. Ich habe es auch gezeigt, nur ich bin verwirrt wegen der Aufgabe mit dem Fornulieren des Prinzips.

Ich danke euch im Voraus! :-)

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Da müsstest du die dir bekannte Version des Induktionsprinzips angeben und möglichst die zu zeigende Ungleichung.

Vielleicht geht es nur darum, dass du aus den Gleichheitszeichen ein Ungleichheitaszeichen machen musst.

1 Antwort

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Also die Bernoullische Ungleichung beweist man so

Behauptung: \( (1+x)^n\le 1+nx \) für \( x\le-1 \) und \( n\in \mathbb{Z} \ge 0 \)

Induktionsanfang:

\( n=0 \) Es gilt \( (1+x)^0=1\le1 \) also stimmt die Behauptung für \( n=0 \)

Induktionsvoraussetzung:

Es gilt \( (1+x)^n \ge 1+nx \)

Induktionsschluss:
Zu zeigen ist, dass gilt

\(  (1+x)^{n+1} \ge 1+(n+1)x \)

Beweis:

$$ (1+x)^n(1+x)\ge (1+nx)(1+x)=1+x+nx+nx^2\ge 1+(n+1)x $$

qed

Avatar von 39 k
Sind die Ungleichheitszeichen in der Behauptung alle richtig?

Du hast Recht, in der Behauptung und in der Voraussetzung habe ich mich vertan. Da müssen \( \ge \) Zeichen stehen.

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