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a) Beweisen Sie, dass \( \frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)} \).

b) Stellen Sie \( \frac{1}{7} \) und \( \frac{1}{8} \) als Summen von Stammbrüchen dar.

c) Beweisen Sie, dass \( \frac{2}{n}=\frac{1}{\frac{n+1}{2}}+\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}} \)

d) Warum kann man diese Formel benutzen, um für ungerades \( n \) Stammbruchdarstellungen von \( \frac{2}{n} \) zu berechnen?

e) Berechen Sie mit der Formel aus c) Stammbruchdarstellungen für \( \frac{2}{3}, \frac{2}{5} \) bis \( \frac{2}{11} \) und vergleichen Sie jeweils mit der entsprechenden Darstellung in der Lederrolle.


Ansatz/Problem:

Ich bekomme die Beweise nicht hin, muss ich die mit Hilfe der Vollständigen Induktion machen oder wie? Ebenso habe ich eine Frage bei b) sind 1/7 und 1/8 nicht schon Stammbrüche oder meinen sie wenn ich die addiere, dass ich das Ergebnis so weiter umformen soll, dass ich nur noch dann Stammbrüche habe?
Ich danke für Eure Hilfe! :)

Avatar von

Bei a musst du einfach die rechte Seite der Gleichung hinschreiben und dann

ausrechnen

1/(n+1) + 1/(n*(n+1))   auf gemeinsamen Nenner bringen

n/(n*(n+1) +1/(n*(n+1))   gibt    (n+1)/(n*(n+1)

Dann mit n+1 kürzen gibt    1/n

Fertig

Bei b) sollst du zwei Stammbrüche finden, dass deren Summe 1/7

bzw. bei b2   1/8 ergibt. Dazu kannst du die Formel von a nehmen und

für n z.B. 7 einsetzen

Danke :-)
Bei c) habe ich dann auch versucht die Sachen auf einen Nenner zubringen, und habe zum Schluss 1/2 * 1/n heraus, ist das zufälligerweise 2/n ?

Habe es folgendermaßen gemacht:

[ 1/2 * (1/n+1) ] + [ 1/2 *  (1/n*(n+1)) ] = 1/2 * (1/ (n+1) + 1/n*(n+1) )   Dann habe ich das wie bei a) auf einen Nenner gebracht und kam halt zu dem oben genannten Ergebnis.

Richtig?

bei c) hast du was falsch. Der Bruch in der Aufgabe war ja 1 durch (n+1)/2.

Da kannst du mit dem Kehrwert multiplizieren   1 * 2/(n+1) gibt also 2/(n+1)

und bei dem 2. Bruch gibt es 2/(n*(n+1).

Wenn du die beiden addierst (mit gem. Nenner) kommt es richtig raus.

Mit gemischten Nennern? War dann überkreuzt malnehmen oder?
Ich meinte:    gemeinsame Nenner, also 1.Bruch mit n erweitern

Achso, okay! Aber dann habe ich zum Schluss 2n+2 / n*(n+1) dann kürze ich das, dann habe ich 2+1/n also 3/n und nicht 2/n, wie ich eigentlich rausbekommen sollte !?

wenn du (2n+2)/(n*(n+1)) kürzen willst, musst du im Zähler

erst mal 2 ausklammern, das gibt [2*(n+1)] / [n*(n+1)]

Dann durch (n+1) kürzen und es bleibt  2/n

warum schreibst du das nicht als Antwort zur Frage. So ist diese gelöste Frage ja immer noch unbeantwortet.

1/n = 1/(n + 1) + 1/(n * (n + 1))

(n + 1)/(n * (n + 1)) = n/(n * (n + 1)) + 1/(n * (n + 1))

Überall mit dem Hauptnenner multiplizieren

(n + 1) = n + 1

wzbw.


2/n = 1/((n + 1)/2) + 1/(n·(n + 1)/2)

2(n + 1)/(n·(n + 1)) = 2n/(n·(n + 1)) + 2/(n·(n + 1))

2(n + 1) = 2n + 2

wzbw.

2 Antworten

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zu a)

1/n = 1/(n + 1) + 1/(n * (n + 1))

(n + 1)/(n * (n + 1)) = n/(n * (n + 1)) + 1/(n * (n + 1))

Überall mit dem Hauptnenner multiplizieren

(n + 1) = n + 1

wzbw.


zu c)

2/n = 1/((n + 1)/2) + 1/(n·(n + 1)/2)

2(n + 1)/(n·(n + 1)) = 2n/(n·(n + 1)) + 2/(n·(n + 1))

2(n + 1) = 2n + 2

wzbw.

Avatar von 487 k 🚀
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Rechnungen stehen ja schon hier irgendwo.
Daher hier nur eine grobe Skizze zur Bearbeitung der Aufgabe:

Vollständige Induktion ist hier sicher völlig unangemessen.
a) Multipliziere die Gleichung mit n(n+1).
b) Verwende a)
c) Löse die Doppelbrüche auf und teile durch 2, dann steht a) da.
d) Für ungerades n ist (n+1) gerade und c) liefert die Stammbruchsummendarstellung.
e) ist eine Anwendung von c). Die Lederrollendarstellung schlage ich jetzt nicht nach.
Avatar von

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