Brüche, Stammbrüche und ihre Beweise

Question

a) Beweisen Sie, dass \( \frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)} \).

b) Stellen Sie \( \frac{1}{7} \) und \( \frac{1}{8} \) als Summen von Stammbrüchen dar.

c) Beweisen Sie, dass \( \frac{2}{n}=\frac{1}{\frac{n+1}{2}}+\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}} \)

d) Warum kann man diese Formel benutzen, um für ungerades \( n \) Stammbruchdarstellungen von \( \frac{2}{n} \) zu berechnen?

e) Berechen Sie mit der Formel aus c) Stammbruchdarstellungen für \( \frac{2}{3}, \frac{2}{5} \) bis \( \frac{2}{11} \) und vergleichen Sie jeweils mit der entsprechenden Darstellung in der Lederrolle.

Ansatz/Problem:

Ich bekomme die Beweise nicht hin, muss ich die mit Hilfe der Vollständigen Induktion machen oder wie? Ebenso habe ich eine Frage bei b) sind 1/7 und 1/8 nicht schon Stammbrüche oder meinen sie wenn ich die addiere, dass ich das Ergebnis so weiter umformen soll, dass ich nur noch dann Stammbrüche habe?
Ich danke für Eure Hilfe! :)

Comments

Bei a musst du einfach die rechte Seite der Gleichung hinschreiben und dann

ausrechnen

1/(n+1) + 1/(n*(n+1))   auf gemeinsamen Nenner bringen

n/(n*(n+1) +1/(n*(n+1))   gibt    (n+1)/(n*(n+1)

Dann mit n+1 kürzen gibt    1/n

Fertig

Bei b) sollst du zwei Stammbrüche finden, dass deren Summe 1/7

bzw. bei b2   1/8 ergibt. Dazu kannst du die Formel von a nehmen und

für n z.B. 7 einsetzen

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Danke :-)
Bei c) habe ich dann auch versucht die Sachen auf einen Nenner zubringen, und habe zum Schluss 1/2 * 1/n heraus, ist das zufälligerweise 2/n ?

Habe es folgendermaßen gemacht:

[ 1/2 * (1/n+1) ] + [ 1/2 *  (1/n*(n+1)) ] = 1/2 * (1/ (n+1) + 1/n*(n+1) )   Dann habe ich das wie bei a) auf einen Nenner gebracht und kam halt zu dem oben genannten Ergebnis.

Richtig?

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bei c) hast du was falsch. Der Bruch in der Aufgabe war ja 1 durch (n+1)/2.

Da kannst du mit dem Kehrwert multiplizieren   1 * 2/(n+1) gibt also 2/(n+1)

und bei dem 2. Bruch gibt es 2/(n*(n+1).

Wenn du die beiden addierst (mit gem. Nenner) kommt es richtig raus.

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Mit gemischten Nennern? War dann überkreuzt malnehmen oder?

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Ich meinte:    gemeinsame Nenner, also 1.Bruch mit n erweitern

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Achso, okay! Aber dann habe ich zum Schluss 2n+2 / n*(n+1) dann kürze ich das, dann habe ich 2+1/n also 3/n und nicht 2/n, wie ich eigentlich rausbekommen sollte !?

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wenn du (2n+2)/(n*(n+1)) kürzen willst, musst du im Zähler

erst mal 2 ausklammern, das gibt [2*(n+1)] / [n*(n+1)]

Dann durch (n+1) kürzen und es bleibt  2/n

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warum schreibst du das nicht als Antwort zur Frage. So ist diese gelöste Frage ja immer noch unbeantwortet.

1/n = 1/(n + 1) + 1/(n * (n + 1))

(n + 1)/(n * (n + 1)) = n/(n * (n + 1)) + 1/(n * (n + 1))

Überall mit dem Hauptnenner multiplizieren

(n + 1) = n + 1

wzbw.

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2/n = 1/((n + 1)/2) + 1/(n·(n + 1)/2)

2(n + 1)/(n·(n + 1)) = 2n/(n·(n + 1)) + 2/(n·(n + 1))

2(n + 1) = 2n + 2

wzbw.

Answer 1

zu a)

1/n = 1/(n + 1) + 1/(n * (n + 1))

(n + 1)/(n * (n + 1)) = n/(n * (n + 1)) + 1/(n * (n + 1))

Überall mit dem Hauptnenner multiplizieren

(n + 1) = n + 1

wzbw.


zu c)

2/n = 1/((n + 1)/2) + 1/(n·(n + 1)/2)

2(n + 1)/(n·(n + 1)) = 2n/(n·(n + 1)) + 2/(n·(n + 1))

2(n + 1) = 2n + 2

wzbw.

Answer 2

Rechnungen stehen ja schon hier irgendwo.
Daher hier nur eine grobe Skizze zur Bearbeitung der Aufgabe:

Vollständige Induktion ist hier sicher völlig unangemessen.
a) Multipliziere die Gleichung mit n(n+1).
b) Verwende a)
c) Löse die Doppelbrüche auf und teile durch 2, dann steht a) da.
d) Für ungerades n ist (n+1) gerade und c) liefert die Stammbruchsummendarstellung.
e) ist eine Anwendung von c). Die Lederrollendarstellung schlage ich jetzt nicht nach.