Sind die folgenden Funktionen injektiv und wie ist deren Umkehrfunktion?

Question

Sind die folgenden Funktionen injektiv? Falls ja, bestimmen Sie die Umkehrfunktion einschließlich ihres (maximalen) Definitionsbereichs.

(a) \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 3+x^{3} \)

(b) \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto-5 x^{2}-9 \)

(c) \( h:\left[-2, \infty\left[\rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{2}+4 x+10\right.\right. \)

Answer 1

a)   f ist injektiv, denn wenn f(x1)=f(x2) ist, dann gilt 3+x1^3 = 3 + x2^3
                                       also      x1^3   =  x2^3
                                       also x1 =  x2
Für die Umkehrfunktion musst du einfach die Variablen x/y miteinander
vertauschen und nach x auslösen:        x=3+y^3
                                                                       x-3   =   y^3
                     also y=3.Wurzel aus (x-3) ist die Gleichung der Umkehrfunktion
b) nicht injektiv, da z.B. f(1)=f(-1), also gibt es auch keine Unkehrfunktion.
c) Du kannst nachrechnen: Der Graph ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt bei (-2/6).
Also ist im Bereich [-2; unendlich[ die Funktion streng monoton steigend, also injektiv.
Der Wertebereich ist [6;unendlich[.
Umkehrung:   (s.o.)     x=y^2+4y+10
                                      x=y^2+4y+4   +  6
                                      x = (y+2)^2 +6
                                       x-6 = (y+2)^2
                                wurzel aus (x-6)   =  y+2     [ Da x>=6 ist geht das und es wird nur
                                                                               die Wurzel nicht etwa auch minus Wurzel
                                                                                gebraucht, denn das Ergebnis soll ja
                                                                              (siehe Definitionsbereich von f) größer gleich -2 sein]
                           Also Gl. der Umk.fkt    y= -2 + wurzel aus (x-6)