Zeigen sie, dass die Funktion f injektiv ist und bestimmen sie die Umkehrfunktion f^-1

Question

zeigen sie, dass die Funktion

f: ℝ / (1) → ℝ, x → x⁵ + 1/ x⁵ -1 

injektiv ist, und bestimmen sie die Umkehrfunktion f^-1

Answer 1

(x⁵ + 1) / (x⁵ -1)   ist wohl gemeint   ???

seien a,b aus IR \ {1} und  f(a) = f(b) dann

(a⁵ + 1)/ (a⁵ -1 )= (b⁵ + 1)/ (b⁵ -1)   

⇔   1  +    2 /  (a⁵ -1 )   =    1  +    2 /  (b⁵ -1 )   


⇔     2 /  (a⁵ -1 )   =    2 /  (b⁵ -1 )   

⇔      (a⁵ -1 )   =    (b⁵ -1 )   

⇔      a⁵    =    b⁵ 

⇔      a   =    b

Also   f Injektiv.  

Umkehrung     y =   (x⁵ + 1) / (x⁵ -1)    =   1  + 2  / (x⁵ -1) 

y - 1 =  2  / (x⁵ -1) 
    x⁵ -1   =    2 /  (  y - 1 )  

x⁵   =  1   +    2 /  (  y - 1 )  


x =  5.Wurzel aus (    1   +    2 /  (  y - 1 )    ) 

also Umkehrfkt

f^-1(x) =   5.Wurzel aus (    1   +    2 /  (  x - 1 )    )