Question

Die Normale zu der Kurve y=x² -7x+1 im Punkt (4;-11) schneidet die Kurve noch in einem anderen Punkt .

Wie sind die Koordnaten dieses Punktes ??

Bitte um Hilfe .

Answer 1

f(x) = x^2-7x+1

f'(x) = 2x-7

Bestimme die Steigung im Punkt P um die Tangente bestimmen zu können:

f'(4) = 1

Die Steigung der Tangente ist m = 1. Setze P in die allgemeine Geradengleichung ein, um die Tangente zu bestimmen:

-11 = 1*4 + b

-15 = b

Die Tangente lautet: y = x - 15

Die Normale hat also die Steigung: m₁*m₂ = -1 -> m₂ = -1

Sie geht ebenfalls durch den Punkt P. Einsetzen in die Geradengleichung:

-11 = -1*4 + b

-7 = b

--> y = -x - 7

Die Normale hat also die Gleichung n(x) = -x-7. Schnittpunkt mit der Kurve:

f(x) = n(x)

x^2-7x+1 = -x-7   |+x+7

x^2-6x+8 = 0       |pq-Formel

x₁ = 2 und x₂ = 4

Folglich wird die Kurve noch an der Stelle x = 2 geschnitten. Eingesetzt in n(x) ergibt sich ein y-Wert von -9.

->> S₂(2|-9)

Grüße

Answer 2

Normale ist die Senkrechte zur Tangente.
Da brauchst du erst mal die Tangentensteigung  mt = f'(4) = 1
Das Produkt aus Tangentensteigung und Normalensteigung ist immer -1,
also ist mn=-1    (Normalenstigung)
Normalengleichung also    y=-1*x+t   Jetzt Punkt (4;-11) einsetzen gibt
                                                 -11 = -1*4 +t
Also    t=-7

Normalgleichung     y=-1*x  -7

Gleichsetzen mit Funktionsgleichung für Schnittpunkte

-1*x-7  =   x^2 -7x +1

gibt       X^2 -6x +8 =0

Lösungen davon sind x=4 oder x=2

Das sind die x-Werte der Schnittpunkte.

Der eine war ja bekannt  (4;-11).

Der y-Wert des anderen ist f(2)=4-14+1=-9

Also 2.Schnittpunkt    (2;-9)