Parabel 4. Ordnung: Welche Tangente an das zugehörige Schaubild schneidet die x-Achse in 2?

Question

Gegeben ist die Funktion f mit \( f(x)=\frac{1}{4} x^{4}-2 x^{3}+\frac{9}{2} x^{2} \) x∈ℝ.

Welche Tangente an das zugehörige Schaubild schneidet die x-Achse in 2?

Answer 1

Die Tangente soll die x-Achse an der Stelle x = 2 schneiden, also durch den den Punkt ( 2 | 0 ) gehen.

Für die Tangentengleichung t ( x ) muss daher gelten:

t ( 2 ) = m * 2 + b = 0

<=> b = - 2 m

Außerdem muss für die x-Koordinate x_S des Schnittpunktes von f und t gelten:

t ( x_S ) = f ( x_S )

<=> m * x_S - 2 m = m ( x_S - 2 ) = ( 1 / 4 ) x_S⁴ - 2 x_S³ + ( 9 / 2 ) x_S² (Gleichung 1)

und für die Steigung m von t muss gelten:

m = f ' ( x_S ) = x_S³ - 6 x_S² + 9 x_S (Gleichung 2)

Setzt man dies in Gleichung 1 ein, erhält man:

( x_S³ - 6 x_S² + 9 x_S ) ( x_S - 2 ) = ( 1 / 4 ) x_S⁴ - 2 x_S³ + ( 9 / 2 ) x_S²

<=> x_S⁴ - 6 x_S³ + 9 x_S² - 2 x_S³ +12 x_S² - 18 x_S = ( 1 / 4 ) x_S⁴ - 2 x_S³ + ( 9 / 2 ) x_S²

<=> x_S⁴ - 8 x_S³ + 21 x_S² - 18 x_S = ( 1 / 4 ) x_S⁴ - 2 x_S³ + ( 9 / 2 ) x_S²

<=> ( 3 / 4 ) x_S⁴ - 6 x_S³ + ( 33 / 2 ) x_S² - 18 x_S = 0

<=> x_S⁴ - 8 x_S³ + 22 x_S² - 24 x_S = 0

Die Lösungen sind

x_S,1 = 0 und x_S,2 = 4

Mit Gleichung 2 erhält man daraus:

m₁ = 0³ - 6 * 0² + 9 * 0 = 0

m₂ = 4³ - 6 * 4² + 9 * 4 = 4

und somit die Tangentengleichungen:

t₁ ( x ) = 0 * x - 2 * 0 = 0

(Dies ist die Gleichung einer Geraden die identisch mit der -Achse ist. Diese Gerade "schneidet" die x-Achse in jedem ihrer Punkte, also auch in ( 2 | 0 ). Sie ist außerdem Tangente an f ( x ) im Punkt ( 0 | 0 ).

t₂ ( x ) = 4 * x - 2 * 4 = 4 x - 8

 

Hier das Schaubild der Funktion f ( x ) sowie der beiden Tangenten t₁ ( x ) und t₂ ( x ):

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28+1+%2F+4+%29+x^4+-+2+x^3+%2B+%28+9+%2F+2+%29+x^2%2C+0%2C+4x-8

Comments

Danke für die Antwort.

Noch eine Frage, ich hätte das doch auch per

Schnittpunk (2|0) in t(u)=f'(u)(x-u)+f(u) wobei u dein xs ist:

0=f'(u)(2-u)+f(u)

lösen können oder?

Das ist mir gerade eben noch eingefallen.

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Ja sicher, das geht auch. Das ist die Punkt-Steigungsform einer Geraden.

Damit kommt man sofort an die Stelle meiner Antwort, die mit "Setzt man dies in Gleichung 1 ein, erhält man:" beginnt.