Die Tangente soll die x-Achse an der Stelle x = 2 schneiden, also durch den den Punkt ( 2 | 0 ) gehen.
Für die Tangentengleichung t ( x ) muss daher gelten:
t ( 2 ) = m * 2 + b = 0
<=> b = - 2 m
Außerdem muss für die x-Koordinate xS des Schnittpunktes von f und t gelten:
t ( xS ) = f ( xS )
<=> m * xS - 2 m = m ( xS - 2 ) = ( 1 / 4 ) xS4 - 2 xS3 + ( 9 / 2 ) xS2 (Gleichung 1)
und für die Steigung m von t muss gelten:
m = f ' ( xS ) = xS3 - 6 xS2 + 9 xS (Gleichung 2)
Setzt man dies in Gleichung 1 ein, erhält man:
( xS3 - 6 xS2 + 9 xS ) ( xS - 2 ) = ( 1 / 4 ) xS4 - 2 xS3 + ( 9 / 2 ) xS2
<=> xS4 - 6 xS3 + 9 xS2 - 2 xS3 +12 xS2 - 18 xS = ( 1 / 4 ) xS4 - 2 xS3 + ( 9 / 2 ) xS2
<=> xS4 - 8 xS3 + 21 xS2 - 18 xS = ( 1 / 4 ) xS4 - 2 xS3 + ( 9 / 2 ) xS2
<=> ( 3 / 4 ) xS4 - 6 xS3 + ( 33 / 2 ) xS2 - 18 xS = 0
<=> xS4 - 8 xS3 + 22 xS2 - 24 xS = 0
Die Lösungen sind
xS,1 = 0 und xS,2 = 4
Mit Gleichung 2 erhält man daraus:
m1 = 03 - 6 * 02 + 9 * 0 = 0
m2 = 43 - 6 * 42 + 9 * 4 = 4
und somit die Tangentengleichungen:
t1 ( x ) = 0 * x - 2 * 0 = 0
(Dies ist die Gleichung einer Geraden die identisch mit der -Achse ist. Diese Gerade "schneidet" die x-Achse in jedem ihrer Punkte, also auch in ( 2 | 0 ). Sie ist außerdem Tangente an f ( x ) im Punkt ( 0 | 0 ).
t2 ( x ) = 4 * x - 2 * 4 = 4 x - 8
Hier das Schaubild der Funktion f ( x ) sowie der beiden Tangenten t1 ( x ) und t2 ( x ):
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28+1+%2F+4+%29+x^4+-+2+x^3+%2B+%28+9+%2F+2+%29+x^2%2C+0%2C+4x-8
