Die Behauptung ist, dass \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) definiert durch \(f(x)=ax+b\) mit \(a\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\) und \(b\in \mathbb{R}\) stetig für alle \(\tilde x \in\mathbb{R}\) ist.
Zum Beweis:
Zu zeigen ist, dass für jedes gegebene \(\varepsilon > 0\) ein \(\delta > 0\) (in Abhängigkeit von Epsilon!) gefunden werden kann, sodass, wenn \(|x-\tilde x| < \delta\) gilt, auch \(|f(x) - f(\tilde x)| < \varepsilon\) gilt.
Wir nehmen also ein beliebiges entsprechendes Epsilon und konstruieren das passende \(\delta\).
Sei also \(\varepsilon > 0\). Sei \(|x-\tilde x| < \delta \) (*). Wie \(\delta\) aussieht, sehen wir am Ende erst, das ist das gewöhnungsbedürftige bei \(\varepsilon-\delta\)-Beweisen. Es gilt \(|f(x) - f(\tilde x)| = |ax+b-(a\tilde x + b)| = |ax+b-a\tilde x - b| = |ax-a\tilde x| = |a(x-\tilde x)| = |a||x-\tilde x| \).
Im letzten Schritt wurden die Rechenregeln für Beträge ausgenutzt. Per Voraussetzung (*) folgt nun, dass \( |a||x-\tilde x| < |a|\delta \). Jetzt sieht man, dass man mit der Wahl von \( \delta = \frac{\varepsilon}{|a|} \) insgesamt folgendes kriegt:
$$ |f(x)-f(\tilde x)| = |a||x-\tilde x| < \delta |a| = \frac{\varepsilon}{|a|} |a| = \varepsilon~.$$
Und genau das wollten wir zeigen.
