Beweise der modifizierten Dirichlet-Funktion, Grenzwert und Stetigkeit

Question

Aufgabe:

Es sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{Q} \) die modifizierte Dirichlet-Funktion, definiert als

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x & \text { falls } x \in \mathbb{Q}, \\ 0 & \text { falls } x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} . \end{array}\right. \)

a) Zeigen Sie: In keinem \( p \neq 0 \) gibt es einen Grenzwert von \( f \) bei \( x \rightarrow p \).

b) Zeigen Sie: \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} f(x)=0 \).

c) Bestimmen und begründen Sie, in welchen Punkten \( f \) stetig ist.

Answer 1

Die rationalen und die irrationalen Zahlen liegen dicht in \( \mathbb{R} \). D.h. man kann jede irrationale Zahl durch eine Folge rationaler Zahlen und umgekehrt approximieren.

(a) Sei jetzt \( a \ne 0 \in \mathbb{Q} \) dann gibt es eine Folge \( x_n \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \) mit \( \lim_{n \to \infty} x_n = a \).

\( \lim_{n \to \infty} f(x_n) = 0 \) aber \( f(a) = a \ne 0 \) also ist \( f \) auf \( \mathbb{Q} \backslash \{ 0 \} \) nicht stetig.

(b) jetzt sei \( a \ne 0 \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \) dann gibt es eine Folge \( x_n \in \mathbb{Q} \) mit \( \lim_{n \to \infty} = a \) und es gilt

\( \lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} x_n = a \ne 0 \) aber \( f(a) = 0 \), also ist \( f \) auch auf \( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \backslash \{0\} \) nicht stetig.

(c) Sei jetz \( a= 0 \) und \( U_\delta(a) \) eine Deltaumgebung von \( a = 0 \) dann gilt für \( x \in U_\delta(a) \)

\( | f(a) - f(x) | = | 0 - x | = |x| < \varepsilon \) falls \( x \in \mathbb{Q} \) und \( \delta = \frac{\varepsilon}{2} \) und

\( | f(a) - f(x) | = | 0 - 0 | < \varepsilon \) falls \( x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)