Wie beweise ich die Stetigkeit auf D für f(x)=x^x für x>0 und f(0):=1.

Question

Sei D:= {x ∈ ℝ|x ≥ 0}. Sei f:D→ℝ, gegeben durch f(x)=x^x für x>0 und f(0):=1. Wie zeige ich, dass f(x) stetig auf D ist?

Comments

Gib der Aufgabe einen Daumen, dann rutscht sie nach oben:) Vielleicht kann uns dann ja wer helfen

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wie mach ich das denn? mussich mich dafür extra anmelden?

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  ich hatte mich schon damit beschäftigt, habe aber noch
nichts sinnvolles gefunden.

  mfg Georg

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Stegigkeit heißt u.a.

  linker Grenzwert = Funktionswert = rechter Grenzwert

  f1 = f ( x ) = x^x
  f2 = f ( x + dx ) = ( x + dx )^{x+dx}
 

 

Damit müßte die allgemeine Stetigkeit  eigentlich bewiesen sein.

zu : f 0 ) = 1
lim x -> 0 : x^x = 0^0 = 1

Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg

Answer 1

Ich habe das jetzt mal so gemacht:

Für den Beweis der Stetigkeit von x^x für x > 0 habe ich das Folgenkriterium angewendet:

Sei $$x_n := x_0 \cdot \sqrt[n]{n} \rightarrow x_0 ~ ( n \rightarrow \infty )$$

Weiter

$$\lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} (x_0 \cdot \sqrt[n]{n})^{x_0 \cdot \sqrt[n]{n}} = x_0^{x_0} = f(x_0)$$


Und für $$x_0 = 0$$: $$\lim_{x \rightarrow 0, x > 0} x^x = 0^0 = 1 = f(0)$$. Der letzte Punkt ist etwas kritisch... kommt drauf an, wie man 0^0 definiert. Gibt Definitionen, wo 0^0 = 1 oder 0^0 = 0. Mein Taschenrechner wills erst gar nicht rechnen (mathematischer Fehler).