Was ergibt 0 + 0 + 0 .... ad infinitum =?

Question

"Blöde Frage", könnte man meinen. Null natürlich!"

Sind wir da in unserer Meinung nicht etwas zu voreilig?

Für 0 + 0 + 0 ..  können wir auch hinschreiben: unendlich klein + unendlich klein + unendlich klein, vorausgesetzt wir akzeptieren, dass

0 = gleich unendlich klein.

Wenn ich 0 Euro besitze und beliebig oft 0 Euro hinzufüge, dann nützt mir das keinen Deut. Ich bin pleite. Es sei denn, ich habe noch anderes  Vermögen (irgendwo schwarz gebunkert).

Angenommen, es gäbe nicht nur den Euro-Cent, sondern eine viel kleinere Währungseinheit: Den quadrillionstel Cent. Würde mir jemand einen solchen Cent schenken, dann wäre ich natürlich nicht mehr ganz pleite, denn ich hätte nunmehr  0 Euro + 1 quadrllionstel Euro. Zwar könnte ich mir dafür, wenns gut läuft, gerade mal ein harrybobärchen kaufen -  aber immerhin. Um wenigsten einen Euro zu besitzen, bräuchte ich also "nur" 1 Quadrillion Leute zu bitten, mir jeweils einen quadrillionstel Euro zu schenken.

Angenommen, das wäre alles kein Problem und es gäbe plötzlich eine noch viel kleinere Währungseinheit des Euros: Nennen wir ihn den unendlich kleinen Euro.

Wenn ich jetzt Glück habe und unendlich viele Leute finden könnte, die mir jeweils einen solchen mikroskopisch kleinen Euro  schenken würden. Wieviel Euro hätte ich dann?

Antwort: Ich wäre der reichste Mann im ganzen Universum!

Daraus folgt: 0 + 0 + 0 ... ad infinitum =  N

Harrybo

Answer 1

Die Antwort ist relativ einfach :

Ich weiß, dass man immer für x das einsetzt gegen was das
laufen soll und wenn nicht 0 rauskommt ist man fertig." 

Stimmt doch oder?

Comments

Werter georgborn: Deine Antwort gefällt mir, auch wenn ich sie nicht ganz verstehe.

Harrybo

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zu deiner weiteren Verwirrung
( den wir befinden uns am Rande des Wahnsinns, auf den Klippen zum Nichts )

2 Personen geben dir jeweils einen Betrag von 1/2 = 1
3 Personen geben dir jeweils einen Betrag von 1/3 = 1
...
10 Personen geben dir jeweils einen Betrag von 1/10 = 1
...
∞ Personen geben dir jeweils einen Betrag von 1/∞ = 1

Also ist : 0 + 0 + 0 ... ad infinitum = 1

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Ich will aber nur von jedem einen unendlich kleinen Euro, d.h.

1 Euro/unendlich = gleich 0 Euro = gleich etwas mehr als absolut nichts.  Das reicht mir.

Harrybo

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P.S.: Da es kein nuller als null gibt, gibt es kein 0,000... ad infinitum.

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Georgborn! Deine Rechnung sieht zunächst sehr logisch und in sich schlüssig aus.

Sie hat nur einen Haken: Die unendliche Schenkerei braucht und kann nicht bei 1 Euro aufhören.

Konkret:

Unendliich viele Personen haben mir nunmehr 1 Euro geschenkt, da mir jeder einzelne  einen unendlich kleinen Euro ausgehändigt hat. Mit diesem einem Euro gebe ich mich natürlich nicht zufrieden. Ich suche mir die nächsten unendlich vielen Schenker. Ich darf das, weil unendlich + unendlich = unendlich.

So. Gerade habe ich  die nächsten unendlichen Schenker abgeklappert. Jetzt  besitze ich schon 2 Euro. Da mir das immer noch zu wenig erscheint, mache ich munter weiter. Ich darf das, weil unendlich + unendlich + unendlich = unendlich.

Nun habe ich bereits 3, 4, 5, 6,7 ... und am Ende ...n-beliebige Euro. Mehr geht nicht, weil ich die Sache nicht bis in alle Unendlichkeit weiter treiben kann und auch nicht will.  Mit ein paar Milliönchen wäre ich schon zufrieden.

Harrybo

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Die Argumentation von Harrybo ist absolut plausibel.

Die Null ist nun mal ein spezieller Grenzwert in \( \mathbb{R} \) und nicht invertierbar.

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Mister: Nein, sie ist nicht plausibel.
Das, was Harrybo hier versucht hat zu beschreiben, ist der Grenzwert \(\sum\limits_{k=0}^\infty 0\) (so habe ich das jedenfalls verstanden). Und dieser Grenzwert ist 0.

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Doch, sie ist plausibel, weil er nicht von \( \sum_{k=0}^{\infty} 0 \) sondern von \( \sum_{k=1}^{N} \epsilon \) mit \( \epsilon \equiv \frac{1}{N} > 0 \) und \( N \rightarrow \infty \) spricht.

Es besteht ein Unterschied zwischen unendlich kleinen Euros größer Null und 0 Euros.

Harrybo will (vermutlich) argumentieren, dass aus \( \infty \cdot 0 = 1 \) folgen würde, dass \( 2 \cdot \infty \cdot 0 = 2 \) ist, was ein Widerspruch ist.

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OK. Dann ist \(\lim_{N\to\infty}\sum\limits_{k=0}^N \frac{1}{N}=1\). Also trotzdem nicht "ein paar Milliönchen" oder unendlich.

Und außerdem ist der Ausdruck \(\infty \cdot 0\) einfach nur unsinnig, ebenso wie die Aussage \(\infty\cdot 0=1.\)

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Der Ausdruck ist eigentlich überhaupt nicht unsinnig. Im Rahmen der Fragestellung, ob ein uneigentliches Element \( \infty \) das Inverse von \( 0 \) sein kann, ergibt sich erst, dass der Ausdruck "unsinnig", sprich nicht definiert ist.

Es ist sogar \( \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{N} = 1 \) für alle \( N <\infty \) und damit insbesondere für \( N \rightarrow \infty \), denn \( \left( \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{N} \right)_{N \in \mathbb{N}} = ( 1 )_{N \in \mathbb{N}} \) ist eine konstante Folge.

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Meine vorläufigen (und unsinnigen ?) Ergebnisse sehen wie folgt aus:

n-beliebig * 0 =  0

unendlich * 0  = 1 = 2* unendlich * 0 = n-beliebig * unendlich * 0 = n-beliebig = (unendlich * unendlich) * 0

Daraus folgt (der Unsinn?), dass unendlich * 0  nicht nur 1 (unsinniges?) Ergebnis hat sondern zahlreiche verschiedene.

Unsinnig wohl innerhalb der gegenwärtigen Mengenlehre. Unsinnig auch innerhalb transfiniter  Arithmetik?

Harrybo

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Wenn ich um Punkt 10Uhr beim Zahnarzt erscheinen soll und ich komme um 9Uhr59.999... ad infinitum + 1/unendlich Sekunde. Komme ich dann zu früh oder zu spät ?

Fragt Harrybo

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Du kommst genau pünktlich.

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Dann bin ich ja beruhigt!

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Ja, also darüber musst du dir jetzt keine Sorgen mehr machen.

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Auch der Tiger vertreibt die Schlange nicht aus ihrem Revier.

Harrybo

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Albert Einstein sagte einmal:

"Es gibt eigentlich nur 2 Unendlichkeiten. Das Universum und die menschliche Dummheit. Im ersten Fall bin ich mir aber nicht ganz so sicher."

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... Aber wenn es nur 2 Unendlichkeiten gibt, was ergibt dann:

unendlich + unendlich + unendlich.... ad infinitum ?

Ich tippe mal auf Aleph 1 =  aleph 0^aleph 0

Harrybo

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Das aleph-Symbol kann man in Latex schreiben mit  \aleph  oder  \aleph_i :

\( \aleph \), \( \aleph_0 \), \( \aleph_1 \), \( \dots \).

Wenn es zwei Unendlichkeiten gibt, musst du bei "unendlich" mit angeben, welche der beiden Unendlichkeiten du meinst, sonst ist deine Summe nicht definiert.

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aleph 0 + aleph 0 + aleph 0 .... ad infinitum = Aleph 1 = aleph 0^aleph 0 = aleph 0/0 = c^c

c = Basiszahl des Kontinuums (oder alternativ: Basis-Kardinalzahl d. Kontinuums)

c = aleph 0 < Aleph 1 < Aleph 2 < Aleph 3  < Aleph 4 < ...... C = Kardinalzahl des Kontinuums

???

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C > T^c > R^c > N^c = Aleph 1 = c^c = aleph 0^aleph 0

T = Transzendent-irrationale Zahlen

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Korrektur!

C > T^c > R^c > N^c = c = aleph 0

c^c = Aleph 1

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R + R + R......ad infinitum = Aleph 1 = aleph 0^aleph 0  = R^aleph 0 = R/0 = aleph 0/0 = c^c

T + T + T......ad infinitum  =  ?

"Die transfiniten Zahlen sind im gewissen Sinne selbst neue Irrationalitäten und in der Tat ist die in meinen Augen beste Methode, die endlichen Irrationalzahlen zu definieren, ganz ähnlich, ja ich möchte sogar sagen im Prinzip dieselbe wie meine beschriebene Methode der Einführung transfiniter Zahlen. Man kann unbedingt sagen: die transfiniten Zahlen stehen oder fallen mit den endlichen Irrationalzahlen; sie gleichen einander ihrem innersten Wesen nach; denn jene wie diese sind bestimmt abgegrenzte Gestaltungen oder Modifikationen des aktualen Unendlichen." (G. Cantor).

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Korrektur 2:

T = R  (die Menge der transzendenten Zahlen = die Menge der reellen Zahlen)

C..... > R^c > N^c = aleph 0 = c

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Der semantische Zusammenhang deiner Formeln ist nicht so leicht zu erfassen.

Vielleicht verknüpfst du die Formeln mit sprachlichen Erklärungen?

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(groß ) C = Kardinalzahl d. Kontinuums

(klein)  c  = Basiszahl d. Kontinuums (alternativ : Basis-Kardinalzahl)

Wie kann lt. Cantor c die Kardinalzahl d. Kontinuums sein, wenn c < Aleph 2 ?

C ....> Aleph 1 = R^c = R*R*R... ad infinitum > N^c = N*N*N...ad infinitum = aleph 0 (kleinste Kardinalzahl d. Kontinumms )  = c

Vorausgesetzt 2^aleph 0 = N^aleph 0 = aleph 0

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Berichtigung:

C....> Aleph 1 =  c^c  =  R =  N^c = N^aleph 0 > n^c = N = n^aleph 0 = aleph 0 = c

N^c = N * N * N....ad infinitum = N + N + N....ad infinitum^

n = jede beliebige rationale Zahl  > 1    wenn   n * n * n... ad infinitum = c, da z.B.

0,9 * 0,9 * 0,9 ...ad infinitum = 0  und  1 * 1 * 1... ad infinitum = 1

Vorausgesetzt 2^aleph 0 = n^aleph null = aleph null

(Gelegentlich kommt man halt durcheinander!)

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Das ist sehr wirr.

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Sorry. Besser kriege ich es z. Zt. nicht auf die Reihe .Ggf. suche ich mir einen geeigneten Gesprächspartner  mit entsprechenden mathemat. Kenntnissen.

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Viel Glück!

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Mister X!

Harrybo

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Letzter Versuch (2014)

n = jede beliebige rationale Zahl

N = Die Menge aller rationale Zahlen

R =  "       "          "    reellen        "

c  = Basis-Zahl d. Kontinuums

C =  Kardinalzahl d. Kontinuums

a 0 = aleph 0 = 2^a0 = 2^c = c = N = n^c = n + n + n...ad infinitum = 1/0 = n/0

A 1 = Aleph 1 = ao^ao = c^c = R = N^c = N + N + N...ad infinitum  = N/0

A 2 = A1^c = c^c^c = R +R + R...ad infintum = R/0 = R^c

A 3 = A2^c .......

.

.

C = a0 + A 1 + A 2 + A3.........

N/N = N ...entspricht a0/a0 = a0

R/R = R/N = R....entspricht A1/A1 = A1/ao

N/R = 0....entspricht ao/A1

A1/A2 = ....

A1/A3 = ....

A1/A4 = ....

a0/A3 = neg. N...entspricht neg. a0

A2/A3 = ....

A8/A14 = ....

usf.

Anzunehmen, dass es auch neg. Alephs gibt

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P.S:

t = jede beliebige transzendente Zahl

t + t + t.... ad infinitum = R = T (die Menge aller transzendenten Zahlen)

t/unendlich = (z. B. pi/unendlich = e/unendlich) = 1. Element der reellen Zahlen = gleich 0

n/unendlich = 1. Element der rationalen Zahlen = gleich O

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Zahlenpioniere waren schon immer dem Spott ausgesetzt

Answer 2

Hi, wollen wir das Ganze nicht so losgelöst von jeglicher Wissenschaft betrachten und auch um ein wenig den historischen Zusammenhang beachten, dann finden wir Anregungen dazu hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Infinitesimalzahl

Deine "darf-es-auch-etwas-mehr-sein-Null" und auch die Diskussion hier erinnert ein wenig an die Auseinandersetzungen um Infinitesimalzahlen aus den Anfängen der Infinitesimalrechnung.