Division von 0 durch 0 ergibt (am Beispiel) 1, wo ist der Fehler?

Question

Gegeben ist folgende Gleichung:

(x-1)²*(x+2)=4(x+2)

Auf Anhieb erkennbar ist, das x₁=-2 eine Lösung der Gleichung sein muss.

wenn x₁=-2 dann x₁+2=0

Jetzt könnte man die Gleichung zu einer Polynomgleichung dritten grades Umformen, Polynomdivision durch x+2 durchführen und über die pq-Formel lösen.

Einfacher ist natürlich wenn man gleich in der gegebenen Gleichung diese Division durchführt. Also:

(x-1)²*(x+2)/(x+2)=4(x+2)/(x+2) 

Entspricht das jetzt aber nicht (durch oben genanntes x+2=0) einer Division von 0/0, also:

(x-1)²*0/0=4*0/0

Um die Gleichung korrekt lösen zu können muss in diesem Fall 0/0=1 sein. Wäre es anders, würde man nicht auf die Lösungen x₂₃=+-2+1 kommen.

Was mich unweigerlich zu der Frage führt, ob eine Polynomdivision (ohne Rest) generell eine Division von 0/0 mit dem Ergebnis 1 ist. Und ob 0/0 vielleicht generell 1 ist?

Wo liegt der Fehler?

Answer 1

Wenn Du eine Gleichung durch einen Term teilst, musst Du für diesen Zweig der Rechnung annehmen, dass der Term nicht null ist. Du musst also eine Fallunterscheidung machen.

Dies kannst Du hier auch vermeiden, indem Du alles auf eine Seite bringst und ausklammerst.

Answer 2

Zitat: Einfacher ist es natürlich, wenn man gleich in der gegebenen Gleichung diese Division durchführt.

 

Nun, die Division durch x + 2 darf man aber nur unter der Voraussetzung durchführen, dass x ungleich - 2 ist. Man muss also eine Fallunterscheidung machen:

 

1. Fall: x = - 2

Einsetzen:

( - 2 - 1 ) ² * ( - 2 + 2 ) = 4 * ( - 2 + 2 )

<=> 9 * 0 = 4 * 0

<=> 0 = 0

Es ergibt sich ein immer wahre Aussage, also ist x = - 2 eine Lösung der gegebenen Gleichung

 

2. Fall: x <> - 2 :

Dann darf die Gleichung durch x + 2 dividiert werden und man erhält:

( x - 1 ) ² * ( x + 2 ) = 4 * ( x + 2 )

<=> ( x - 1 ) ² * ( x + 2 ) / ( x + 2 ) = 4 ( x + 2 ) / ( x + 2 )

<=> ( x - 1 ) ² = 4

<=> ( x - 1 ) = +/- 2

<=> x = - 1 ODER x = 3 

Answer 3

0/0 kann man leider nicht generell als 1 annehmen.

Allerdings, wenn du weitere Nullstellen suchst, suchst du neben x=-2. D.h. du darfst durch (x+2) dividieren. Ab dieser Stelle in der Rechnung gilt dann deine Rechnung für alle x Element R, mit x ≠ -2.

Alternative: Du kannst und solltest hier die Polynomdivision vermeiden.

(x-1)²*(x+2)=4(x+2)              |-4(x+2)

(x-1)²*(x+2) - 4(x+2) = 0        |(x+2) ausklammern

((x-1)^2 - 4) (x+2)  = 0

( x^2 - 2x + 1 - 4) (x+2) = 0

(x^2 - 2x - 3) (x+2) =0     

             |linken Faktor faktorisieren (wenn nötig mit Formel für quadr. Glgen)

(x-3)(x+1) (x+2) = 0      

Nullstellen x1=3, x2=-1, x3 = -2.   

Comments

@Lu: Was machst Du denn da? Nach

(...)

((x-1)^2 - 4) (x+2)  = 0

geht es doch wesentlich einfacher weiter mit

(x-1 - 2) (x-1 + 2) (x+2)  = 0

(x-3) (x+1) (x+2)  = 0.

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@Anonym: Danke. Das ist auch ein Weg. Faktorisierungen sehe ich schnell genug.