Gegeben seien zwei Abbildungen. Zeigen Sie: Sind f und g beide injektiv, so ist auch g ° f injektiv.

Question

Aufgabe:

Gegeben seien zwei Abbildungen \( f: X \rightarrow Y \) und \( g: Y \rightarrow Z \). Zeigen Sie

a) Sind \( f \) und \( g \) beide injektiv, so ist auch \( g \circ f \) injektiv.

b) Sind \( f \) und \( g \) beide surjektiv, so ist auch \( g \circ f \) surjektiv.

c) Ist \( g \circ f \) injektiv, so ist \( f \) injektiv.

d) Ist \( g \circ f \) surjektiv, so ist \( g \) surjektiv.

Ansatz/Problem:

Was Injektiv und surjektiv ist, das weiß ich.

Was bedeutet dieser kleine Kreis zwischen g und f?

Wie kann ich denn zeigen das es stimmt oder das es nicht stimmt?

Answer 1

Der kleine Kreis ist die Verkettung, d.h.   gof wird so berechnet,
dass gof (x)  =  g(f(x)), also bei g wird an Stelle des x das f(x) eingesetzt.

Zeigen, ob eine Funktion h injektiv ist, geht meistens so:

Nimm an, es gibt x1 und x2 mit h(x1)=h(x2)
dann muss man daraus schließen können     x1 = x2.

Für a) heißt das z.B

sei    g(f(x1)) = g(f(x2)), dann gilt f(x1) = f(x2), weil g injektiv ist.
Dann gilt aber x1 = x2 weil f injektiv ist.
Also konntest du aus gof(x1) = gof(x2) schließen:   x1=x2,
also ist gof injektiv.   q.e.d.

zu b)   Sei c aus Z. Dann gibt es wegen der Surjektivität von g
ein b aus Y mit g(b)=z.
Da f surjektiv ist, gibt es auch a aus X mit f(a)=b.
Dann ist aber g(f(a))=g(b)=c.
Somit gibt es zu jedem c aus Z ein a aus X mit g°f(a)=c.   q.e.d.

zu c)   Sei f(a)=f(b).

Da g eine Abbildung ist, ist dann auch g(f(a))=g(f(b)), denn g ordnet
den gleichen Werten f(a) und f(b) gleiche Funktionswerte zu.
Also g°f(a) = g°f(b). Da g°f injektiv ist, folgt a=b.           q.e.d.
zu d) Sei c aus Z. Zu zeigen ist, dass es ein b aus Y gibt, mit g(b)=c.
Da g°f surjektiv ist, gibt es ein a aus X mit g°f(a)=c
Also g( f(a) ) = c. Also ist f(a) das gesuchte b.   q.e.d.