Question

Seien f: X→Y und g:Y→Y Funtkionen. Zeigen Sie:

Wenn g ο f injektiv ist, so ist f injektiv.

Wenn g ο f surjektiv, so ist g surjektiv

ich habe injektiv so bewiesen  aber ich weiß es nicht ob es so richtig ist , falls ja wie muss ich es bei surjektiv machen bitte mit begründung antworten danke :)

g(f(x₁))  ≠ g(f(x₂))  ⇒x₁  ≠x₂  ∉ X

g ο f injektiv  g(y₁) ≠ g(y₂)  y₁ ≠ y₂  ∉Y  f₁ ≠ f₂

⇒f(x₁) ≠  f(x₂)  x₁  ≠ x₂  ∉X

Answer 1

g(f(x₁))  ≠ g(f(x₂))  ⇒x₁  ≠x₂  ist trivial, das gilt für jede Funktion

x₂  ∉ X mutet etwas seltsam an, angesichts der Tatsache, dass du doch erst kurz zuvor die Funktion f₂ (mit Definitionsbereich X) auf x₂ angewendet hast.

Aus "g ο f injektiv  g(y₁) ≠ g(y₂)  y₁ ≠ y₂  ∉Y  f₁ ≠ f₂" kann ich nichts erkennen. Welche Aussage folgt aus welcher anderen Aussage und warum? Gleiches gilt für "⇒f(x₁) ≠  f(x₂)  x₁  ≠ x₂  ∉X ".

Zur Surjektivität.

Sei  g ο f surjektiv, y_g∈Y. und x∈X mit g(f(x)) = y_g (ein solches x existiert wegen der Surjektivität von g ο f). Wähle y_f=f(x). Dann ist g(y_f) = y_g. Also existiert zu jedem y_g∈Y ein y_f∈Y mit g(y_f) = y_g. Daher ist g surjektiv.