zu: f ο g = id B ==> g ist Injektiv vielleicht so:
Seien a,b ∈ B mit g(a) = g(b) . Dann folgt,
da f eine Abbildung ist f(g(a)) = f(g(b)) und
wegen fog = id also a = b.
zu: g ist injektiv ⇒ f ist surjektiv verwende den
Tipp: Kontraposition, also:
Sei g Injektiv und angenommen f nicht surjektiv
==> Es gibt b ∈ B und für alle a∈A gilt f(a)≠b.
Betrachte a := g(b) =g( f(g(b)) = g(f(a))
und da g Injektiv ist, folgt aus g(b) = g(f(a))
sofort b = f(a) . Widerspruch !
zu: f ist surjektiv. ==> f ο g = id B.
Sei b ∈ B . Da f surjektiv ist, gibt es ein
a ∈ A mit f(a) = b , also
f(g(f(a)) = b nach Vor also
(fog)(f(a))=b
bzw (fog)(b)=b
und weil also für jedes b ∈ B gilt
(fog)(b)=b ist f ο g = id B.