Wie beweist man f ο g = id B ⇔ g ist injektiv ⇔ f ist surjektiv

Question

ich verstehe nicht, was man bei folgender Aufgabe tun muss:

Seien f : A → B und g : B → A Funktionen mit f ο g ο f = f und g ο f ο g = g. Zeigen Sie:
f ο g = id B ⇔ g ist injektiv ⇔ f ist surjektiv.

Hinweis: Es bietet sich ein Vorgehen per Ringschluss an. Im Falle
der Implikation “g ist injektiv ⇒ f ist surjektiv” stellt sich ein Beweis per Kontraposition als
hilfreich heraus.

Danke schon mal im Voraus,

MfG

Answer 1

zu:  f ο g = id B ==>  g ist Injektiv  vielleicht so:

Seien a,b ∈ B mit g(a) = g(b) . Dann folgt,

da f eine Abbildung ist   f(g(a)) = f(g(b)) und

wegen fog = id  also     a = b.

zu:  g ist injektiv ⇒ f ist surjektiv verwende den

Tipp: Kontraposition, also:

Sei g Injektiv und angenommen f nicht surjektiv

==> Es gibt b ∈ B und für alle a∈A gilt  f(a)≠b.

Betrachte    a := g(b) =g( f(g(b)) = g(f(a))

und da g Injektiv ist, folgt aus  g(b)  = g(f(a))

sofort    b = f(a) . Widerspruch !

zu:    f ist surjektiv.   ==>   f ο g = id B.

Sei b ∈ B . Da f surjektiv ist, gibt es ein

a ∈ A mit   f(a) = b , also

             f(g(f(a)) = b nach Vor also

                   (fog)(f(a))=b

              bzw  (fog)(b)=b

und weil also für jedes b ∈ B gilt

(fog)(b)=b  ist     f ο g = id B.