Danke. Das oben war Teilaufgabe (a).
Gegeben: f: X -> Y, g: Y -> X, g(f(x)) = id(x)
(a) ist "Beweise f injektiv und g surjektiv" (siehe Ausgangspost).
und (b) "Gilt auch f verkettet mit g = id y, so sind f, g beide bijektiv und es gilt g = f ^{-1}. Beweisen Sie das!"
Beweis für (b):
Ist g: Y -> X mit g(f(x)) = id x gegeben, sowie f(g(y)) = id y, so muss f und g nach (a) jeweils bijektiv sein. Da f(g(y)) = y = f(x) und g(f(x)) = x = g(y), stimmt die Behauptung, dass g = f ^ (-1) ist.
Ist der Beweis für (b) auch richtig? Hatte keinen anderen Ansatz als zu zeigen, dass die Verkettung und jeweils die einzelne Funktion zur selben Lösung führen, also g Umkehrfunktion von f sein muss.
