Verständnisfrage zur Injektivität und Surjektivität

Question

also ich bin in meinen Unterlagen auf etwas gestossen, was ich so nicht ganz verstehe:
Ich verstehe dabei leider gar nichts.

Also zu 1) wenn bijektiv, existiert eine Umkehrfunktion , die aus das Urbild "weist"

Über Hilfe wäre ich aehr dankbar :)

Answer 1

1.  f^-1 o f ist ja auf A definiert; denn es heißt ja   " f^-1 nach f" also wird für ein x zuerst f(x) gebildet

(damit das möglich ist muss x aus A sein ) und dann f^-1 von dem Ergebnis  also

 f^-1 ( f x ) )   und das ist gleich x. Also gilt für alle x aus A    f^-1 ( f x ) )  = x und damit ist

          f^-1  f    = id _A   . 

so ähnlich geht auch das 2. von 1.

2. Sei f injektiv. Betrachte  h : f(A) ----->   A    mit  h (y) = x , wenn   f(x) = y .

wegen der Injektivität von f ist das eine Abbildung und wegen der Def. von h

ist hf = id_A  .

umgekehrt: wenn so ein h existiert und es seien  x,y aus A mit f(x)=f(y)=z ,

dann gilt   h(z)   = h(f(x) = x   und h(z) =  h(f(y)) = y    und da h eine

Abbildung ist,  x = y . Also f injektiv.