Hänge nun schon längere Zeit an folgender Aufgabe und bitte um Hilfe:
Seien \( n, m \in \mathbb{N}_{+} \)und \( \mathbb{N}_{\alpha}=\left\{x \in \mathbb{N}_{0} \mid x<\alpha\right\} \) für \( \alpha \in \mathbb{N}_{+} \).
a) Konstruieren Sie eine Funktion \( f: \mathbb{N}_{n} \rightarrow \mathbb{N}_{m} \) mit allen folgenden Eigenschaften:
- Wenn \( \left|\mathbb{N}_{n}\right|<\left|\mathbb{N}_{m}\right| \), dann ist \( f \) injektiv.
- Wenn \( \left|\mathbb{N}_{n}\right|>\left|\mathbb{N}_{m}\right| \), dann ist \( f \) surjektiv.
- Wenn \( \left|\mathbb{N}_{n}\right|=\left|\mathbb{N}_{m}\right| \), dann ist \( f \) bijektiv.
b) Beweisen Sie, dass \( f \) injektiv ist, wenn \( n<m \).
c) Geben Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung für \( n \) und \( m \) an, bei der \( f \) surjektiv ist.
