Lösungen zu z^6-64=0?

Question

meine Aufgabe ist es alle Lösungen zur folgenden komplexen Gleichung zu ermitteln:

(z^6)-64=0

z^6=64

Was ich bisher erreicht habe, ist das ganze in die Polare Form umzuwandeln:

z=(6√64)*e^{i*φ+k*2π}/6

Dort muss ich jetzt nur noch k∈0,1,...,5 einsetzen? Ist das bis dahin richtig und stellt dies dann das Endergebnis dar oder muss ich es in eine andere Form überführen?

Gruß,

Alex

Answer 1

Zerlege doch zunächst über den reellen Zahlen:

(z - 2) * (z + 2) * (z^2 + 2*z + 4) * (z^2 - 2*z + 4)

Dazu braucht man keine Polarkoordinaten.

Comments

Danke für die Antwort aber ich würde gerne den Lösungsweg über die polare Form weiter verfolgen, da ich noch weitere Aufgaben gegeben habe und ich diesen Lösungsweg so analog dort anwenden könnte.

Answer 2

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z^6=64

Was ich bisher erreicht habe, ist das ganze in die Polare Form umzuwandeln:

z=(6√64)*e^{i*φ+k*2π}/6
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das ist  ja fast richtig .. nur solltest du den Faktor i im Exponenten vor der Klammer haben und
den Winkel φ der Zahl 64 verwenden .. also  φ =0

dann hast du  z=2 *e^{i*k*π/3}  ........ für k= 0, 1, 2, 3, 4, 5

-> die sechs Lösungen sind die Ecjpunkte der dem Kreis mit Radius 2 , Mittelpunkt (0;0) 
einbeschriebenen regelmässigen Sechsecks (beginnend mit der Ecke (2; 0) ..

ok?

Comments

Die Zeile, dass ich den Winkel φ der Zahl 64 verwenden soll und somit φ=0 kann ich nicht nachvollziehen.Wäre φ=0 wirklich würde doch dann auch i entfallen denn i*φ=i*0=0?

Danke für die Antwort.

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Die Gleichung hat zwei reelle Lösungen.

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die Zahl 64 liegt auf der posiv reellen Achse

das Argument, dh der Grundwinkel ist für solche Punkte eben φ =0

aber alle wiederholungen um k* 2π führen ja wieder zu 64 auf der reellen Achse

da  nachher die 6-te Wurzel ermittelt werden soll,

wird 64 so dargestellt : ->  64 = e^{ i * 2 k π} ... mit k in Z , also zB für k= 0.1, ..5

deshalb hast du dann für die 6-te Wurzel das oben notierte Ergebnis ->

z=2 *e^i*k*π/3  ........ für k= 0, 1, 2, 3, 4, 5

jetzt alles klar?
(nebenbei:

dass der Faktor i nicht nur für φ   sondern auch für k*2π gilt, habe ich dir

oben notiert: -> i als Faktor vor der Klammer im Exponenten)