Höhere Ableitungen berechnen: n-te Ableitung von cos(ax)

Question

Berechne höhere Ableitungen:

(a) n-te Ableitung von cos(ax), wobei a eine Konstante ist

(b) 2-te Ableitung von $$ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } $$

Answer 1

Hi,

bei der b)

schreibe deine Wurzel um zu (1+x²)^1/2 und jetzt wie gewohnt die Kettenregel anwenden.

hier die b) nochmal als TeX

$$ f(x)=\sqrt { 1+x^2 }dx =(1+x^2){  }^{ \frac { 1 }{ 2 } } $$
$$ \frac { 1}{ 2 }(1+x^2){  }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }2x $$
$$ x(1+x^2){  }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }=\frac { x }{ \sqrt { 1+x^2 } } $$
$$ f'(x)=\frac { x }{ \sqrt { 1+x^2 } } $$

die zweite Ableitung kannst du mal selber versuchen. Ich bin weg.

bei der a) habe ich leider nur eine Idee. Du weißt ja, dass sin und cos sich beim ableiten immer wechseln also wenn man sin(x) ableitet, kommt cos(x) und wenn man das ableitet kommt -sin(x) und wenn man das wieder ableitet kommt -cos(x) und dann wieder sin(x) und dann gehts wieder von vorne los. Das andere Problem ist jetzt das was in der Klammer steht ..da weiß ichs nicht.

Answer 2

f(x) =  cos(ax)

f ' (x) = -a*sin(ax)

f ''(x) = -a^2*cos(ax)

f '''(x) = a^3*sin(ax)

f ''''(x) = a^4* cos(ax)

usw.

Allgemeiner formuliert: 

f ⁽ⁿ⁾(x) = (-1)^{n/2} * a^{n}*cos(ax) , falls n gerade

f ⁽ⁿ⁾(x) = (-1)^{(n+1)/2} * a^{n}*sin(ax) , falls n ungerade

Hoffe, das stimmt so.