Hat jede Funktion eine höhere Ableitung, die konstant gleich Null ist?

Question

Meine Frage ist ob jede Funktion eine höhere Ableitung hat, die konstant gleich Null ist?

Answer 1

Nein..

die e-Funktion beispielsweise kann man so oft wie man will ableiten, aber sie ist immer ungleich 0.

Dann noch der sin, cos, tan.... Es gibt einige..

Answer 2

Im Allgemeinen ist das falsch.

Gegenbeispiel:

f ( x ) = e^x

f ' ( x ) = e^x

f ' ' ( x ) = e^x

f ' ' ' ( x ) = e^x

...

f ^(∞) = e^x

Für ganzrationale Funktionen allerdings ist diese Aussage richtig, weil sich deren Grad bei jeder Ableitung um 1 verringert und daher irgenwann einmal zu 0 wird. Eine solche Funktion aber ist konstant, sodass die dann folgende Ableitung den Wert 0 hat.

Comments

Was ist mit den trigonometrischen Funktionen?
Versuch mal Cos und Sin solange abzuleiten, sodass 0 heraus kommt? ;-)

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Es gibt sicher (beliebig?) viele Gegenbeispiele. Als Beweis dafür, dass die Behauptung im Allgemeinen falsch ist, genügt jedoch eines.