Real - und Imaginärteil einer komplexen Potenz.

Question

Habe folgende Formel gegeben und soll den Real sowie den Imaginärteil ermitteln.

\( \left(\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}+i\left(\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)\right)^{50} \)

Habe die komplette Formel einfach ausgerechnet und als Ergebnis "i" erhalten, kann mir aber nicht vorstellen, dass es im Normalfall so komplex und langwierig ist das auszurechnen.

Answer 1

Schnellster Weg:

Wandle den Term innerhalb der grossen Klammer erst mal in Polarform um.

Dann kannst du in einem Schritt potenzieren. Resultat wieder zurück verwandeln in die kartesische Form.

Alpha = arctan ((√6 - √2)/{√6 + √2)) = arctan ( (√6 -√2)^2 / ((√6 + √2)(√6 - √2)))

= arctan ( (6 + 2 -2√12))/(6-2))

= arctan ( (8 -4√3)/4)

= arctan ( 2-√3)       

= 15° = π/12  | (ohne Gewähr. Nachrechnen!)

r = 1/4 ( (√6 + √2)(√6 - √2)) = 1/4* (6-2) = 1 . Das wäre bei deinem i auch ok.

( ..... )^50 = ( 1*e^{iπ/12})^50

= e^{i50π/12} 

= e^{48πi/12 + 2iπ/12}

=e^{4πi  + iπ/6} 

= e^{iπ/6}

= √3 /2 + i/2

Realteil √3 /2

Imaginärteil 1/2

Das ist schon mal gut und passt für dein i.