Hohler Kegel wird bis zur Hälfte mit Wasser gefüllt, mit einem Deckel verschlossen und mit der Spitze nach oben gedreht.

Question

Ein hohler Kegel steht auf der Spitze und hat innen den Grundkeisradius a und die Höhe a. Er wird bis zur Hälfte mit Wasser gefüllt, mit einem Deckel verschlossen und mit der Spitze nach oben gedreht.

a) Wie hoch steht das Wasser nach dem Befüllen im gedrehten Kegel?

b) Welcher Wasserstand ergibt sich, wenn der Kegel bei gleicher Höhe den Durchmesser a hat?

Brache Hilfe

Answer 1

Mein Ansatz:

1/3·pi·(a/2)^2·(a/2) = 1/3·pi·(a^2·a - (a - x)^2·(a - x))

Wobei x hier die Füllhöhe beim umgekehrten Kegel ist. Ich muss es also nach x auflösen.

x = a*(1 - ³√(7) / 2) = 0.0435a = 4.35%

Damit wäre dann der Kegel zu 4.35% in der Höhe gefüllt. Irgendwie erscheint mir das aber zu wenig, weshalb ich jemand anderen bitten würde das mal zu prüfen.

Ich habe daher auch hier nicht meine Rechnung hingeschrieben.

Comments

Die linke Seite deiner Gleichung stellt das Volumen des Wassers da, falls man den Kegel vor dem Füllen auf den Kopf stellt und ihn dann bis zur halben höhe füllt. Oder, anders ausgedrückt: Bezüglich des in der Aufgabe geschilderten Füllvorgangs hast du das Volumen der im Kegel verbleibenden Luft berechnet, also Wasser und Luft vertauscht
Damit ergibt sich das tatsächliche Wasservolumen zu:
V_Wasser=1/3·π·a²·a-1/3·π·(a/2)² ·a/2=1/3·π·7/8a³
Wenn man den Kegel jetzt auf den Kopf stellt, bildet das Wasser einen Kegel mit der gesuchten Höhe x.

Damit muss gelten:

1/3·π·7/8a³=1/3·π·x³ also x³=7/8a³ und somit x=0,5a·³√7≈0,956a

(was deiner Lufthöhe entspricht)

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Ich denke da ist dir jetzt ein Fehler unterlaufen.

Am Anfang steht der Kegel auf der Spitze und wird zur Hälfte mit Wasser gefüllt. Damit ist 1/8 des Volumens jetzt mit Wasser gefüllt und 7/8 sind Luft. Dann wird der Kegel mit der Kreisfläche nach unten hingestellt und die Frage ist dann wie hoch das Wasser steht. Es sollte klar sein das das Wasser jetzt sicher nicht 95% der Höhe einnehmen.