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Ein auf der Spitze stehender Kegel mit r=10cm, h=30cm, 30cm^3/Sekunde Befüllung ist gegeben. Das Volumen V(t) und die Höhe h(t) des Wasserspiegels hängen also von t (in s) ab. Da diese Aufgabe im Themenbereich Kettenregel ist, muss man wahrscheinlich irgendwie h(t) und V(t) verketten. Aber wie?

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Was willst du wissen ?

- Volumen als Funktion der Zeit V ( t ) = ...

- Höhe ( Wasserstand ) als Funktion der Zeit
h ( t ) = ...

2 Funktionen ?

höhe (wasserstand)

Vom Duplikat:

Titel: Wasserspiegel-Anstieg-Geschwindigkeit im Kegel bei einem bestimmten Zeitpunkt

Stichworte: geschwindigkeit,funktionen,zeit,kegel,wasser,höhe

Ein auf der Spitze stehender Kegel mit r=10cm, h=30cm, 30cm3/Sekunde Befüllung ist gegeben. Wie berechnet man z.B. wie schnell (Geschwindigkeit) der Wasserspiegel nach 2 min steigt?

Da der Kegel bereits bei 2 Minuten am überlaufen ist gilt für die Änderungsrate der Wasserhöhe 0 cm/s.

5 Antworten

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Du könntest die Beziehungen

$$ \dfrac{r(t)}{h(t)} = \dfrac{10}{30} $$und

$$V(t) = 30 \cdot t$$nutzen, um aus der Volumengleichung

$$ V(t) = \dfrac 13 \cdot \pi \cdot \left(r(t)\right)^2 \cdot h(t) $$\(h(t)\) zu gewinnen.

PS: In der letzten Zeile fehlte das \(\pi\); ich habe es nun eingefügt.

Avatar von 27 k

Ich muss doch für r(t) und V(t) diese Beziehungen einsetzen. Aber das h(t) ist doch dann schon als die Gesamthöhe 30cm gegeben? Oder ist das h(t) in der V(t)-Gleichung schon die Füllhohe?

So ist es!

                   

Ok und wieso ist V(t)= 30 *t

>  30cm3/Sekunde Befüllung ist gegeben.

[ V in cm3 , t in Sekunden ]

→  V(t) = 30 * t          

So, ich habe oben noch das fehlende Pi eingefügt.

Stimmt also diese Formel?

h(t) = [3. Wurzel von] 810t/pi

Ja, sie ist richtig.                     

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Hier meine Berechnungen

Bild Mathematik

h ( t ) = 3 √ ( 810 / π * t )

Und den Graph dazu

Bild Mathematik

Avatar von 123 k 🚀

Wie kommt dieses pi in A(x) zusatnde?

Ich hab nämlich ein Ergebnis ohne pi .

f ( x ) ist der Funktionswert an der Stelle x
und entspricht dem Radius des Kegels.
f ( 30 )= 10
Die Fläche an dieser Stelle ist
r^2 * PI oder
[ f ( x ) ]^2 * PI

Da du in der Folgefrage nach der
Änderungsrate / Geschindigkeit
gefragt hast.

h ( t ) = 3 √ ( 810 / π * t )
h ( t ) = ( 810 / π * t )^{1/3}
1.Ableitung
h ´( t ) = 1/ 3 * ( 810 / π * t )^{-2/3} * ( 810/π )

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Mit Strahlensatz bekommt man 10 / 30 = r(t) / h(t) für den Radius r(t) in der Höhe h(t), also r(t) = 1/3 h(t).

Das Volumen V(t) in Höhe h(t) ist also V(t) = 1/3 π r(t)2 h(t) = 1/27 π h(t)3. Damit ist h(t) = 3 · 3√(V(t)/π).

Andererseits gilt V(t) = 30t für das Volumen V(t) zum Zeitpunkt t. Somit ist 

        h(t) = 3 · 3√(30t/π).

Berechne h'(120).

Avatar von 107 k 🚀

Kann es sein, dass du das pi vergessen hast?

Kann es sein, dass das immer noch falsch ist?

Nein.           

Berechne h'(120). 

h(t) ist für t = 120 nicht definiert.


Warum sollte 3 · 3√(30·120/π) nicht definiert sein?

Da der Kegel bereits bei 2 Minuten am überlaufen ist gilt für die Änderungsrate der Wasserhöhe 0 cm/s.


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Nenne die Höhe des Wasserpiegels über der Kegelspitze x und den Wasserspiegelradius R. Dann ist x/R=3/1oder R=x/3. Das Volumen bis zur Wasserspiegelhöhe x ist dann V(x)=π/3·R2·x=π/9·x3.Muss leider abbrechen.

Avatar von 123 k 🚀
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r = 1/3·h


V = 1/3·pi·r^2·h = 30·t


I in II einsetzen und nach h auflösen.


h(t) = (810/pi·t)^{1/3}


h'(t) =(30/(pi·t^2))^{1/3}


h'(120) = (30/(pi·t^2))^{1/3}

Avatar von 488 k 🚀

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