"Berechnen" ist da so eine Sache.
Da muss man immer so ein bisschen schauen.
Die Glieder mit ungeradem Exponenten sind ja
immer kleiner als 3 und bei geradem größer als 3.
Für eine obere Schranke kommt es also nur auf die
mit geradem n an, also n=2m.
(-2/3)2m = (4/9)m
und (4/9)m liefert Glieder einer monoton fallenden
Folge und da ist immer das erste eine obere
Schranke. Bei der ursprünglichen Folge also b2.
Beweisen kannst du das dann einfach durch Nachrechnen:
3 + (-2/3)n ≤ 3 + 4/9
<=> (-2/3)n ≤ 4/9 ist für alle ungeraden n
sicher erfüllt, da dann (-2/3)n < 0
und für die geraden gilt (-2/3)n = (2/3)n
also bleibt zu zeigen (2/3)2m ≤ 4/9 für alle m aus ℕ.
Entweder mit der Kenntnis der geometrischen Reihe oder
notfalls mit vollst. Induktion.
