Wie berechnet man die Höhe eines Kegels wenn dieser nur zur Hälfte gefüllt ist anhand des Strahlensatzes?

Question

Hallo

Ich schreibe bald eine Arbeit. In der kommt auch der Strahlensatz vor. Wir haben ein paar Übungsaufgaben bekommen, doch ich komme nicht weiter kann mir jemand es erklären?

Aufgabenstellung: Kegelförmiges Glaß hat (ohne den Fuß) die höhe 12 cm der Durchmesser ist 8 cm nun soll ich ausrechnen wie hoch das Glas gefüllt ist wenn die hälfte des Volumen drinne ist.

Ich hab also als erstes das Volumen des Glaßes ausgerechnet wenn es voll ist. Also 1/3 xπx4²x12 =64π (201,06 gerundet)

Dann muss ich ja davon die hälfte nehmen in die Volumen formel einsetzten und nach h auflösen. Vorher jedoch muss ich ja den kleineren Radius ausrechnen. Da scheitert es. Soweit bin ich noch gekommen und dann hängt es :

Strahlensatz: Parrallelabschnitte: r/8 = (r:2)²xh²/16 dass hab ich dann geteilt durch 8 gerechnet

r= (r.2)²xh²/2 dass dann wieder geteilt durch 2

r/2= r²xh² dann komme ich nicht weiter. Ich weiss nicht wirklich ob das bis jetzt richtig war

Schon mal danke im Voraus :)

Answer 1

Sei H die Gesamthöhe , R der Radius der Grundfläche, h die Höhe für da halbe Volumen und r der Radius für das halbe Volumen.

Du hast den Strahlensatz:

R/H = r/h

=> 4/12= r/h

=> 1/3= r/h

=> 1/3h = r           (1)

Das Volumen hattest du richtig berechnet. Wie du gesagt hast wird das Volumen nun halbiert (32π).

Dann hast du die neue Formel für das Volumen:

1/3 * π*r^2*h= 32π                         (2)

Hier kannst du jetzt (1) einsetzen:

1/3 * π*(1/3h)^2*h= 32π       

<=> 1/3 * π*1/9* h^3= 32π

Jetzt löst du nach h auf .

Dann erhältst du dein h.  Dein berechnetes h setzt du jetzt in hier ein und löst nach r auf :

R/H = r/h

Fertig

Zum Prüfen : h = 9.52 und r =3.17

Comments

Danke das hat mir sehr geholfen :)

Hab es noch mal nachgerechnet und es war richtig

Noch mal vielen Dank :D