Ungleichung mit Bruch und Betrag lösen: |x-2| / (x+2) ≤ 4, x≠-2

Question

Ungleichung mit Bruch und Betrag lösen:

a) \( \frac{|x-2|}{x+2} \leq 4, x \neq-2 \)

b) \( \frac{x}{x+3}<\frac{1}{x-1} \)

Comments

Multiplikation mit den Nennern hilft oft.

Cave: negatve Faktoren ändern die Relation

Answer 1

Ungleichungen / Gleichungen mit Betragsstrichen
bedeuten meist einen großen Aufwand und
stiften Verwirrungen.

Das Ergebnis stimmt. Geprüft.

mfg Georg

Comments

Das ist wirklich verwirrend ...warum hast du so viele Fallunterscheidung ich habe doch nur 1fall =x<2 und 2fall =x>2 oder nicht ?

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Meiner unmaßgeblichen Meinung nach hast du 4 Fälle.
Der Nenner positiv oder negativ sein
Mein Fall
1.) x + 2 > 0  => x > -2
2.) x + 2 < 0  => x < -2

Und dann hast du im Zähler auch noch jeweils
2 Fälle zu unterscheiden.
a.) x - 2 > 0
b.) x - 2 < 0

ergibt 4 Fälle

1.) x + 2 > 0  => x > -2
1a.) ( x + 2 > 0 ) und ( x - 2 > 0)
1b.) ( x + 2 > 0 ) und ( x - 2 < 0 )

2.) x + 2 < 0  => x < -2
2a.) ( x + 2 < 0 ) und ( x - 2 > 0 )
2b.) ( x + 2 < 0 ) und ( x - 2 < 0 )

Auf der Seite 1 habe ich unten einen Fehler.
Für den Fall 1 gilt
x > 2 ( steht bei mir zunächst auch so da )
x > -1.2
Also x ≥ -1.2

Insgesamt ergilt
x ≥ -1.2 und
x < -2

Hier noch der Graph als umgestellte Funktion
| x - 2 |/( x +  2) <= 4
f := abs ( x - 2 ) / ( x + 2 ) - 4
Die Lösungsmenge ist alles unterhalb der x-Achse

Answer 2

dazu:

| x - 2 |/( x +  2) <= 4

die richtige Lösungsmenge:

alle x mit x< -2 ... denn da ist die linke Seite negativ, also kleiner als 4

ODER

alle  x  mit x> -6/5 also x>-1,2

...... und damit selbstverständlich auch für ALLE positiven x

Comments

wie kommst du so schnell auf x > -1.2 ?