Funktionsgleichung aufstellen mit komplexen Zahlen

Question

Folgendes Problem:

Finden Sie ein Polynom f vom Grad 5 mit reellen Koeffizienten, das eine

doppelte Nullstelle bei z = −2 und je eine einfache Nullstelle bei z = 2 und z = 3 + 2j

hat sowie außerdem die Bedingung f(3) = 2 erfüllt. Geben Sie das Polynom in der Form

f(z) = a0 + a1z + a2z2 + a3z3 + a4z4 + a5z5

Meine Überlegung:

Hab erstmal die Nullstellen heruasgeschrieben:

(z+2)^2

(z-2)

(z-(3+2i))

Allerdings weiß ich jetzt nicht weiter, wie ich es schaffen soll, dass f(3)=2 gelten soll. Ohne diese Bedingung hätte ich die Nullstellen ja einfach ausmultiplizieren können.

Comments

Danke an euch Beide! Hat mir sehr geholfen. Für a hab ich dann i/25 rausbekommen.

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Danke an euch Beide!

Du brauchst auch beide Antworten, um aus ihnen die richtige zusammenzusetzen

Answer 1

Genau richtig:

Allerdings weiß ich jetzt nicht weiter, wie ich es schaffen soll, dass f(3)=2 gelten soll. Ohne diese Bedingung hätte ich die Nullstellen ja einfach ausmultiplizieren können.

Allerdings musst du das Ganze noch mit einem Faktor a versehen (denn der ändert ja die Nullstellen

nicht)      also f(z)=   a * (z+2)² * (z-2)*   (z-(3+2i))

Und jetzt a so bestimmen, dass f(3)=2 gilt

Answer 2

das Polynom muss ja so aussehen \( f(z)=(z+2)^2(z-2)(z-3-2j)(z-z_0) \)

Aus \( 2=f(3)=25\cdot (-2j)(3-z_0) \) folgt eine Gleichung für \( z_0 \)