Question

$$Wie zeige ich, dass jeder angeordnete Körper mindestens sieben verschiedene Elemente enthält?

Ich muss erstmal zeigen, dass in einem angeordneten Korper die Elemente 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1 drei verschiedene positive Elemente sind.

Und mit Hilfe des Prinzips der vollstandigen Induktion kann man beweisen, dass jeder angeordnete Körper unendlich viele verschiedene Elemente enthält, indem man die Elemente 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1, ... betrachtet.

Aber ich verstehe das nicht, kann mir die Lösung jemand erklären?$$

Answer 1

In jedem Körper ist 1 verschieden von 0.
Da K angeordnet ist, ist 1>0.
Un jetzt machst du es am besten so, wie du es beschrieben hast:
Du betrachtest einfach mal 1+1.
Bei   1>0 kannst du auf beiden Seiten 1 addieren und hast dann
                   1+1 > 1
Das machst du einfach mehrmals hintereinander und hast dann

1+1+1+1+1+1 > 1+1+1+1+1 > 1+1+1+1 > 1+1+1 > 1+1 > 1 > 0

wegen der Transitivität der Ordnungsrelation, ist jeder der weiter
links steht größer als einer der weiter rechts steht, also
sind insbesondere keine der 7 Elemente gleich.   q.e.d.