Anzahl der Elemente in n-dim. Vektorraum über Körper K

Question

Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum der Dimension n über dem Körper K. Sei außerdem K endlich mit k verschiedenen Elementen. Wie viele verschiedene Elemente enthält V?

Mein Lösungsidee:

Da der Vektorraum V die Dimension n hat, hat er eine Basis B= {v1, ... , vn} (n-Elemente).
Da der Körper K nur k Elemente hat, hat man dann also k Möglichkeiten für die n Basisvektoren vi Koeffizienten auszuwählen. Deshalb ergeben sich kⁿ verschiedene Elemente.

Aber auf mich wirkt das irgendwie so, als ob da noch etwas fehlen muss... oder dürfte das schon alles sein was ich da schreiben muss?

Answer 1

Ist alles richtig. Kannst ja auch sagen

n-dim Vektorraum über K ist isomorph zu Kⁿ , hat also

kⁿ verschiedene Elemente.