Die Lösungsmengen des folgenden Gleichungssystems finden.

Question

Wie finde ich die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems?

I: \( x^{2} y+y^{3}+y=0 \)

II: \( x^{2} y+y^{3}+y=0 \)

Kann man x²y und xy² als gleich ansehen bzw. danach auflösen?

Answer 1

Hi,

ich würde es wohl so versuchen:

x(x^2+y^2-1) = 0

y(x^2+y^2+1) = 0

Das in den Klammern sind Kreisgleichungen. Für letztere hätte man nen negativen Radius. Bleibt also auf jedenfall nur y = 0.

Damit in erste Gleichung ergibt sich:

y = 0 und x = 0 oder

y = 0 und x = ±1

Mehr gibt es nicht ;).

Grüße

Answer 2

Kann man x²y und xy² als gleich ansehen bzw. danach auflösen?

Nein, es ist   x^2 y  =   x*x*y  und das andere   x*y*y

Aber du kannst bei der 1 Gleichung x ausklammern und

bei der 2. Gleichung y ausklammern und hast dann

x  * (x^2 + y^2 - 1 ) = 0     und  y * (x^2 + y^2 + 1 ) = 0

Wenn ein Produkt Null ist, muss mindestens ein Faktor Null sein.

Du hast also mehrere Fälle zu betrachten

1.     x=0    und   y =0

2.    x=0    und    x^2 + y^2  + 1 = 0

3.    x^2 + y^2 - 1= 0     und y = 0

4.  x^2 + y^2 - 1= 0     und   x^2 + y^2 + 1= 0

Fall 1 ist klar.   Das Paar   (o/o) ist eine Lösung des Gl.sys.

Fall 2:      Wenn x=0, wird aus der 2. Gl    y^2 + 1 = 0 also  y^2=-1 unlösbar.

Im Fall2 gibt es also keine Lösung

Fall 3   ähnlich wie 2 aber jetzt   x^2 -1 = 0

also   x = +1 oder x = -1

Lösungen im Fall 3 sind also   (1/0)  und  (-1/0).

Fall 4   Wenn du die beiden Gl'en voneinader abziehst hast du

-2 = 0   Das ist auch unlösbar, also liefert

Fall 4 auch keine Lösungen.

gesamte Lösungsmenge ist also  {(0/0), (1/0) ,  (-1/0)}.

Comments

Okay, danke. Aber wenn ich in Fall 3 die Wurzel ziehe, wird doch nicht aus 1 wieder 1?!

Also:

x² = 1 | √

x1 = 1, x2 = -1

Die Wurzel aus 1 ist doch nicht 1?

---

Doch, du kannst ja zurückrechnen,

Wenn du z. Beispiel testen willst ob wurzel aus 36 wirklich 6 ist,

prüfst du  6*6=36.

Bei der 1 prüfst du   1*1 = 1 stimmt.