Lösungsmengen dem Gleichungssystem zuordnen: 2x -y -3z = -2, (II) -4x + 2y + 6z = 4, (III) 6x - 3y - 9z = -6,

Question

Aufgabe:

Welche Lösungsmengen \( \mathcal{L}_{i} \) sind Teilmengen der Lösungsmenge \( \mathcal{L} \) des folgenden Gleichungssystems? Beweisen Sie Ihre Aussagen.

\( \begin{aligned} 2 x_{1}-x_{2}-3 x_{3} &=-2 \\ -4 x_{1}+2 x_{2}+6 x_{3} &=4 \\ 6 x_{1}-3 x_{2}-9 x_{3} &=-6 \end{aligned} \)

a) \( \mathcal{L}_{1}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mid\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=(0,2,0)+\lambda_{1}(1,2,0)+\lambda_{2}(0,-3,1), \lambda_{1}, \lambda_{2} \in \mathbb{R}\right\} \)

b) \( \mathcal{L}_{2}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mid\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=(1,1,1)+\lambda_{1}(1,-1,1)+\lambda_{2}(1,5,-1), \lambda_{1}, \lambda_{2} \in \mathbb{R}\right\} \)

c) \( \mathcal{L}_{3}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mid\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=(2,0,2)+\lambda_{1}(1,5,-1), \lambda_{1} \in \mathbb{R}\right\} \)

Comments

Eine Möglichkeit wäre alle Lösungsmengen in das gegeben GS einzusetzen. Und nachsehen ob diese tatsächlich eine Lösung sein können.

Bsp für c:
Wähle für lamda =1

Somit gilt für die 2. Gleichung -4*1 + 5*1 + 6*(-1) = 0 = 4
Was, wie du siehst nicht stimmt, egal wie du Lambda nun wählst. => L3 ist keine Lösungsmenge für das GS.

So kannst du nun mit a und b fortsetzen.

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du hast ja jetzt die Lösungsmenge L3 eingesetzt, wo wird da das (2,0,2) in deinem Beispiel berücksichtigt?

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Es genügt, wenn ein Element der angeblichen Lösungsmenge nicht in L liegt, um auszuschliessen, dass L die Lösungsmenge der Gleichung beschreibt.

Du kannst schon (2,0,2) auch noch testen, aber vielleicht passt ausgerechnet (2,0,2).

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wenn ich es dann richtig verstanden habe heißt das:

a.) lamda = 1

1. Gleichung:  2*1 - 1*2 - 3*0 = 0 = -2 => L1 ist keine Lösungsmenge für das GS.

b.) lamda = 1

1. Gleichung: 2*1 - 1*(-1) - 3*1 = 0 = -2 => L3 ist keine Lösungsmenge für das GS.

Das kann doch nicht richtig sein, oder etwa doch?

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in b.) meinte ich natürlich L2 ist keine Lösungsmenge für das GS

Answer 1

2x -y -3z = -2             (I)

-4x + 2y + 6z = 4       (II) = -2(I)

6x - 3y - 9z = -6        (III) = 3(I)

Dein LGS besteht nur aus einer Gleichung für die 3 Unbekannten.

==> Die Lösungsmenge ist eine Ebene im R^3.

Daher ist L3 (Geradengleichung) sicher falsch.

Nun setze ich allgemein L1  in (I) ein.   (k und m anstelle von lambda1 und lambda2)

Allgemein gilt in L1 . (x,y,z) = (0+k+0, 2 +2k - 3m, 0+0+ m) = (k, 2+2k -3m, m)

einsetzen in (I)

2k - (2+2k-3m) - 3m =?= -2

2k - 2-2k+3m - 3m = -2 stimmt.

==> L1 ist Lösungsmenge des gegebenen LGS.

L2 kannst du analog rechnen.