Grenzwert einer konvergenten Folgen berechnen. Kettenbruch 1/(1+(1+(...+1/2)))

Question

Aufgabe:

(a) Gegeben sei die konvergente Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( a_{1}=1 \),

\( a_{2}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}} \quad, \quad a_{3}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}, \quad a_{4}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}}, \ldots \)

Berechnen Sie den Grenzwert dieses Kettenbruchs.

(b) Zeigen Sie, dass die rekursiv definierte Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}_{0}} \) mit

\( a_{0}=2 \quad, \quad a_{n}=\frac{3}{4-a_{n-1}}, n \in \mathbb{N} \)

konvergiert, und berechnen Sie ihren Grenzwert.

Comments

Überdenke dein (a) nochmals.

Für den Grenzwert g muss wohl gelten:

g = 1 / ( 1+g)

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$$a_2= \frac 1{1+\frac 12} = \frac 1{\frac 32}= \frac 23$$
$$a_3= \frac 1 {1+\frac 1{1+\frac 12}}=  \frac 1 {1+\frac 23}=  \frac 35  $$
$$a_4= \frac 1{1+\frac 1 {1+\frac 1{1+\frac 12}}} = \frac 1{1+\frac 35}=\frac 58$$
$$a_5= \frac 1{1+\frac 1{1+\frac 1 {1+\frac 1{1+\frac 12}}}} = \frac 1{1+\frac 58}=\frac 8{13}$$
$$a_6=  \frac 1{1+\frac 8{13}}= \frac{13}{21}$$
$$a_7= \frac{21}{34}$$
$$a_8= \frac{34}{55}$$
$$ a_\infty= \frac 2{1+\sqrt5}$$

Suche im Internet unter "Fibonacci - Goldener Schnitt".

Vielleicht noch mit Begriff wie Beweis oder Folge kombinieren. Es gibt jede Menge Beweise (also Stellen wo einer steht) dafür, weil das eine Standardaufgabe ist.

            

Answer 1

um den Grenzwert einer rekursiven Folgen \(a_n\) die konvergiert zu berechnen, verwende den Hinweis

$$ \lim \limits_{n \to \infty} a_{n+1} = a = \lim \limits_{n \to \infty} $$

zu den Aufgaben:

1) Schreibe den Kettenbruch als rekursive Folge auf und verwende obigen Hinweis.

2) Konvergenz: Zeige die Folge ist beschränkt und monoton fallend. Den Grenzwert berechnest du wie oben.

Gruß