Gibt es überabzählbare reelle Zahlen, die nicht transzendent sind?

Question

Gibt es irrationale, überabzählbare Zahlen, die keine transzendente Zahlen (wie z. B. e oder pi) sind?

fragt Harrybo

Comments

Was verstehst du genau unter einer überabzählbaren reellen Zahl?

Ich kenne eher überabzälbare Mengen.

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Worin besteht der Unterschied zwischen der Zahl  2 und der Menge 2?

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2 ist keine Menge.

{2} ist eine Menge mit dem einzigen Element 2.

Mehr dazu hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Überabzählbare_Menge

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Ist die Menge von 2 Äpfeln nicht gleich 2?

Answer 1

Du meinst vielleicht
Gibt es  überabzählbar viele irrationale, Zahlen, die keine transzendente Zahlen (wie z. B. e oder pi) sind?
Antwort: nein
Die nicht transzendenten irrationalen Zahlen sind algebraisch, dh sie sind
Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten,
davon gibt es aber nur abzählbar viele

Comments

D.h. dass die unendliche  Menge der abzählbaren,  rationalen Zahlen und die unendliche  Menge der  irrationalen Zahlen mit algebr. Anteil gleichmächtig sind.i

Und woher wissen wir, dass  pi nicht transzendenter (komplexer) als e ist?

Die Antwort hat bis morgen Zeit

Servus

sagt Harrybo

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falls pi komplexer als e oder umgekehrt, dann gibt es auch eine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen, die iin ihrer Mächtigkeit echt kleiner ist, als die reellen Zahlen.

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D.h. dass die unendliche  Menge der abzählbaren,  rationalen Zahlen und die unendliche  Menge der  irrationalen Zahlen mit algebr. Anteil gleichmächtig sind.i

besser der irrationalen algebraischen Zahlen gleichmächtig sind

Und woher wissen wir, dass  pi nicht transzendenter (komplexer) als e ist? 

Das kann man nicht steigern : 

die irrationalen Zahlen zerfallen in die algebraischen

(die man als Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten

erhalten kann, wie z.B wurzel aus 2)  und die transzendenten,

bei denen das nicht geht. Bei e und pi gibt es dazu einen

nicht ganz einfachen Beweis von Lindemann (ca. 1930).

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Also sind zunächst nur die transzendenten Zahlen nicht abzählbar und die Menge der algebraischen irrationalen Zahlen und die Menge der rationalen Zahlen wären gleichmächtig.

Heißt das auch,  dass es keine weitere Kardinalität als Aleph 1 geben kann?

Wenn ja, dann wäre (bspw.)

N + N + N..... ad infinitum = R (die Menge aller reellen Zahlen) und

R + R + R..... ad infinitum = R.... (Ein Ergebnis, welches  ich mir nicht so recht vorstellen kann)

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mit dem vorstellen ist das bei diesem thema so eine sache.

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Ja, das ist es in der Tat. Nur:

Cantor vermutete bekanntlich weitere Mächtigkeiten... Aleph 2,3,4...... Er hatte wohl seine Gründe.

Dass er c als Kardinalzahl des Kontinuums bezeichnete ist mir wieder schleierhaft, zumal dann

c =  Aleph 1 < Aleph 2

Wäre nicht  logischer

c = aleph 0 < Aleph 1 < Aleph 2 < Aleph 3 < Aleph 4.........< C ?

c = Basiszahl des Kontinuums

C = Kardinalzahl des Kontinuums