Zeige: Dreiecksmatrix mit a,d,f≠0 ist invertierbar.

Question

(b) Es sei \( A=\left[\begin{array}{lll}a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f\end{array}\right] \) eine obere Dreiecksmatrix mit \( a, d, f \neq 0 \). Zeigen Sie: Die Inverse \( A^{-1} \) existiert und ist ebenso wie \( A \) eine obere Dreiecksmatrix.

(c) Es sei \( A \in \operatorname{Mat}_{n \times n}(\mathbb{R}) \) eine Diagonalmatrix; d. h. alle Einträge außerhalb der Diagonalen sind Null. Welche Bedingung ist an die Diagonalelemente \( a_{11}, \ldots, a_{n n} \) zu stellen, damit die Matrix \( A \) invertierbar ist? Geben Sie für diesen Fall die Inverse \( A^{-1} \) an.

Answer 1

b) die Determinanten ist det(A) = adf ≠ 0, da a,d,f alle nicht 0 vorausgesetzt.

==> A ist invertierbar.

c) b) verallgemeinern.

a₁₁ * a₂₂ * a₃₃ .... *a_nn ≠ 0

<==>

a₁₁ ≠0, a₂₂ ≠0, a₃₃ ≠0, ... *a_nn ≠ 0

Inverse hat die Diagonalenelemente

1/a₁₁ , 1/ a₂₂ , 1/ a₃₃ .... 1/ a_nn 

Alle andern Elemente von A^{-1} sind 0.

Comments

Hey könntet ihr Aufgabenteil b) vielleicht nochmal genauer erklären? Muss ich nicht auchnoch invertieren, um zu zeigen,dass die Inverse wieder eine Dreiecksmatrix ist?

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Hier mal die Inverse von b)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=invert+%28%28a%2Cb%2Cc%29%2C%280%2Cd%2Ce%29%2C%280%2C0%2Cf%29%29

c) musst du analog machen. Wie du genau die Determinanten in den Zählern schlau notieren kannst, musst du dir selbst überlegen. 

http://mathworld.wolfram.com/MatrixInverse.html