Umstellen von Ungleichung mit 2 Variablen: (5n+1)/(3n^2) < z

Question

Hi eventuell ist das sehr trivial, aber irgendwie komm ich nicht drauf:

ich will das nach n umstellen:

(5n+1)/(3n^2) < z          , n€N.

Comments

Was ist denn die Grundmenge? n und z reell. Oder n eine natürliche Zahl?

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Ah sorry ja das ist natürlich sehr wichtig.

Es ist teil eines Konvergenz-Nachweises, daher ist n€N.

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ok. Dann brauchst du ja nicht so viele Fälle zu unterscheiden... Ich ergänze das oben noch.

Answer 1

(5n+1)/(3n²) < z;  | mal (3n²), da (3n²) >0 , egal was man für n einsetzt, es muss immer größer 0 sein, das
Ungleichheitszeichen Kehrt sich also nicht um

(5n+1) < z * (3n²); | -z * (3n²)
(5n+1) - z * (3n²) < 0;
-n^2*3z +n5 +1 < 0; |mal (-1)
n^2*3z -n5 -1 > 0;

Fallunterscheidung:

Fall1: z=0
-n5-1 > 0;
n < 1/5; // ">"-Zeichen kehrt sich um, da Multiplikation mit negatisver Zahl

Fall2: z > 0
lösen der quadratischen Gleichung. Zu dem Zweck wird das Ungleichheitszeichen durch ein "=" ersetzt.
Liefert:
n1 = (5/6z) + sqrt( (5/(6z))^2 + (1/(3z) )
n2 = (5/6z) - sqrt( (5/(6z))^2 + (1/(3z) )
Faktorisieren der Ungleichung:
(n - n1) * (n - n2) > 0;

Fall2.1: n=/=n2, n-n2 >0
n>n1

Fall2.2:n=/=n2, 0n-n2 <0
n<n1

Fall2.3: n=/=n1, n-n1 >0
n>n2

Fall2.4: n=/=n1, n-n1<0
n<n2
 

Fall3: z<0
s. Fall2

Bin mir ab Fall2.1 ... nicht ganz sicher, prinzipiell müsste es so gehen. Man muss alle Eventualitäten abdecken. Kann sein, dass das eine oder anere überflüssig wird, weil schon behandelt oder nicht möglich.

Comments

Sorry ich hätte wirklich direkt beachten und anmerken sollen, dass es sich um ein n € N handelt,

damit hättest du dir viel Arbeit gespart!