Ungleichung umstellen ln(x): ln(x)>=1-1/x

Question

 

ich muss die Ungleichung ln(x)>=1-1/x umstellen

Normal würde ich den ln auf eine Seite bringen (ist er schon) dann mit der e Funktion arbeiten und auf X auflösen.

Aber da ich auf der anderen Seite ein -1/x habe bekomme ich ja

x>=e^{1-1/x}.

Das ist dann irgendwie schlecht denke ich ^^. Wie bekomme ich das aufgelöst?

Answer 1

Hi,

probiere es so:

 

ln(x)>=1-1/x

0≥1-1/x-ln(x)

Das betrachte nun als Funktion:

f(x)=1-1/x-ln(x)

f'(x)=(1-x)/x^2

f''(x)=(x-2)/x^3

 

Das heißt der einzige Extrempunkt, liegt bei f'(x)=0 -> x=1.
Dieser ist ein Maximum (f''(1)>0).
Da nun aber f(1)=0 ist, aber auch ein Maximum, gibt es keinen Wert der größer 0 ist.

 

Folglich ist 0≥1-1/x-ln(x) erfüllt und damit auch

ln(x)≥1-1/x

 

Alles klar?

 

Grüße

Comments

Ah okay, ja das ist natürlich eine Klasse Idee :D.

Ich bin das mal so angegangen inzwischen, stimmt das so eigentlich auch? (Abgesehen davon, das es wohl nicht all zu elegant ist ^^)

 

Ich hoffe man kann das einigermaßen lesen.

Und danke für die schnelle Antwort !!

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Ja, das ist auch richtig, soweit ich das sehen kann ;).

Kannst Dir ja eine Variante raussuchen.

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Alles klar, super :D. Dankeschön.

Aber ich glaube mit deiner Variante gehts schneller ;-)

Was aber, wenn f´´(x)=0 also Wendepunkt ist?.

Bei solch einer Aufgabe bin ich gerade.

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Das zeigt uns nun, dass die Aussage

(x+1)ln(x)≥2x-2 für x>0 nicht erfüllt ist.

 

In der Tat ist das wohl nur für x≥1 erfüllt.

 

Probe mit x=0,5:

1,5*ln(0,5)=-1,04≤-1=2*0,5-2

 

;)

 

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Achso,

also ist es zulässig das ich dann einfach einen Wert >= 1 einsetze und zeige das es ab dann gilt.

Also eine Mischung der beiden Lösungswege.

 

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Nein, das alleine reicht nicht.

Habe nur einen Wert eingesetzt, um Dir zu zeigen, dass die Behauptung x<1 gehört nicht zum erlauchten Kreis, nicht an den Haaren herbeigezogen ist^^.

Ansonsten ist aber "Werte einsetzen" sehr unmathematisch. Zumal wir nicht mal Monotonie gezeigt hatten^^.

 

 

 

Wenn wir x≥1 verlangen, ist der Wendepunkt/Sattelpunkt ein Randpunkt. Er kann nun als Extrempunkt betrachtet werden und vorherige Aussage gilt.

 

 

Sprich, wenn x>0 gegeben ist, ist obige Ungleichung falsch.

Ist x≥1 verlangt, oder man darf die Definitionsmenge entsprechend angleichen, passt unsere Argumentation wieder, die wir hergeleitet/erbastelt haben ;).

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Achso ja stimmt.

 , das hat mir sehr geholfen!!

und einen schönen Abend noch :)