Verstehe den letzten Schritt beim Umstellen der Ungleichung nicht

Question

Aufgabe:

\( \frac{x-1}{x+1} \) < 1  (x≠-1) 

Problem/Ansatz:

In der Lösung wird nicht jeder Schritt erklärt und ich verstehe im letzten Schritt nicht was da genau umgestellt wird.

\( \frac{x-1}{x+1} \) =  \( \frac{(x+1)-2}{(x+1)} \)  = 1 - \( \frac{2}{x+1} \)

⇒ - \( \frac{2}{x+1} \) < 0

und jetzt kommt der letzte Schritt den ich nicht verstehe. Wie kommt man auf das folgende Ergebnis? Welche Regel wird hier angewendet?

⇒ x + 1 > 0

Ich weiß das hier irgendwie mit einer negativen Zahl multipliziert/dividiert wird weil sich das Relationszeichen ändert.

Ich rechne folgendes:

- \( \frac{2}{x+1} \) < 0  |*(-1)

\( \frac{2}{x+1} \) > 0  |*(x+1)

\( \frac{2(x+1)}{x+1} \) > 0 | jetzt kann ich kürzen aber dann bleibt folgendes übrig

2 > 0 was ja nicht x + 1 > 0 entspricht.

Answer 1

So wie ich das verstanden haben, ist die Ungleichung:

x + 1 > 0 eine Folgerung aus der vorherigen Ungleichung , nämlich:

-2/(x+1) < 0.

Weil -2/(x+1) < 0 ist, also im negativen Bereich ist, darf der Nenner nicht negativ sein, da der Bruch sonst nicht kleiner als 0, sondern größer als 0 wird. Daraus folgt, dass x+1>0 sein muss , damit der ungleiche Bruch nicht positiv wird, sondern kleiner als 0 bleibt. Diese Ungleichung gilt für alle x>-1

Comments

vielen lieben Dank für die ausführliche Erklärung!!! Jetzt verstehe ich es