Beweisen Sie die folgende Gleichung mit Integralen: ∫ f(x) * g´´(x) dx = ∫ g(x) * f´´(x) dx

Question

b                           b
∫ f(x) * g^´´(x) dx = ∫ g(x) * f^´´(x)  dx

a                          a

Wobei die beiden zweimal stetig differenzierbaren Funktionen f ;g : [a;b] --> R besitzen in a und b Nullstellen.

Danke für die Mühe

Comments

EDIT: Du hattest die dx vergessen. Da nicht ganz klar war, wo du die haben wolltest, habe ich sie einfach mal ans Ende gesetzt. Wenn's anders sein sollte, melde dich nochmals.

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Danke dir Lu, ja ich habs vergessen hinzuschreiben :-)

Answer 1

Wende mal auf beide Integrale die Regel der partiellen Integration an und subtrahiere die
entstehenden Gleichungen voneinander. Dann siehst du, dass f*g' - g*f' eine Stammfunktion für
f * g '' - g * f '' ist.
Das kannst du natürlich auch direkt beweisen, etwa so:
( f *g ' - g *f ' ) ' = ( f * g '' + f ' * g ' )  -  ( g * f '' + g ' * f ' ) = ....... = f * g '' - g * f ''

Jetzt bringst du in deiner gegebenen Gleichung beide Integral auf die linke Seite
und fasst sie zu einem Integral zusammen, dann hast du das Integral von a bis b
über f * g '' - g * f ''.   
Da du ja jetzt eine Stammfunktion kennst, brauchst du nur a und b einzusetzen und
weil f(a) und g(a) und f(b) und g(b) jeweils Null sind, kommt Null heraus.
Wenn aber die Differenz der Integrale Null ist, sind beide gleich.   q.e.d.