Nullstellen berechnen von z.B. f´´(x) = - 56x^6 + 168 x^2 für Kurvendiskussion

Question

Hallo ich brauch wieder eure Hilfe

Ich sitze an einer Kurvendiskussion die ich auch gut kann ( der Ablauf ist mir vertraut).

Ich habe nur Schwierigkeiten von den Einzelnen Ableitungen die Nullstellen zu berechnen.

Hier könnt mir bestimmt helfen.

f (x) = - x^8 + 14x^4-49   --->  Nullstellen +/-  1,63

f´ (x) = - 8x^7 + 56 x^3   →  Nullstellen  ???

f´´(x) = - 56x^6 + 168 x^2  → Nullstellen  ???

f´´´ (x) = - 336 x^5 + 336x   →  Nullstellen   ???

Bitte helft mir auf die Sprünge

Danke

Answer 1

f (x) = - x⁸ + 14x⁴-49   --->  Nullstellen +/-  1,63

f´ (x) = - 8x⁷ + 56 x³   ----->  Nullstellen  ???

Ab hier kannst du direkt faktorisieren

f ' (x) = -x^3 ( x^4 - 56)       | Beinahe!

EDIT(Lu) Besser: f'(x) = -8x^3 (x^4 - 7). Hattest du ja vielleicht noch gemerkt.

Nun die Faktoren Null setzen:

Nullstellen x1=x2=x3=0. und x^4 = 7, d.h. x = ± 7^0.25

Bitte selbst in den Taschenrechner eingeben. Und nun bei f '' den Faktor -x^2 und  dann -x ausklammern.

Ich überlass dir das Folgende mal.

f´´(x) = - 56x⁶ + 168 x²  -----> Nullstellen  ???

f´´´ (x) = - 336 x⁵ + 336x   ------>  Nullstellen   ???

Comments

Du argumentierst LMNTar.  Da würd ich mich an sich noch nicht zu Wort melden; aber du verschlampst eine 8 . Schon ab f ' sind deine Ergebnisse zwar gut gemeint, aber durchaus unrichtig.  Dagegen die Stärke hinter meiner Argumentation ist gerade, dass ich mich von der Art willkürlichen Zahlen wie 8 frei mache; meine Argumente beruhen auf reiner Polynomalgebra.  Dioe Leitkoeffizienten kannste dir voll in die Haare schmieren.

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Freut mich, dass du nachgerechnet hast. Danke. Ausklammerung ist nun korrigiert.

Answer 2

<<  Ich sitze an einer Kurvendiskussion ( KD ) die ich auch gut kann ( der Ablauf ist mir vertraut).

Ist dir auch vertraut, was ICH dir zu sagen habe? Dein Polynom hat gerade Symmetrie; beschränken wir uns auf die rechte halbe Bene .

f  (  x  )  :=  p  ²  (  x  )        (  1a  )

p  (  x  )  :=  x  ^ 4  -  7      (  1b  )

Welche Nullstellen hat ( 1b ) ?

x  ^  4  =  7    |  sqr      (  2a  )

x1  ²  =  -  sqr  (  7  )   |  sqr     (  2b  )

x2  ²  =  sqr  (  7  )     |  sqr     (  2c )

z1;2  =  +/-  i  *  7  ^ 1/4        (  3a  )

x3;4  =  -/+  7  ^ 1/4               (  3b  )

Ganz bewusst habe ich die ===> komplexen ( bzw. imaginären ) Lösungen mit herein genommen, damit du siehst, dass das Polynom p ( x )  VIER EINFACHE Wurzeln hat ===> Fundamentalsatz der Algebra. Das kann man sich auch noch anders klar machen.  Betrachte die erste Ableitung

p '  (  x  )  =  4  x  ³      (  4  )

Diese verschwindet nicht in  (  3ab )  - notwendig und hinreichend für einfache Nullstelle.

Nun geht aber f ( x )  in ( 1a ) mit p  QUADRAT , d.h. sämtliche 4 Wurzeln ( 3ab ) sind doppelt in f ( x ) Eine doppelte Wurzel von f ist aber immer noch eine einfache der Ableitung f ' ( x ) Damit haben wir schon vier Nullstellen von f '  ===> p ist Faktorpolynom von f ' ( x ) Als Ableitung eines Polynoms 8. Grades ist f ' ( x ) selbst vom 7. Grade; uns fehlen demnach noch 3 Nullstellen. Woher schnitzen wir uns die?

Erwähnt sei ferner: Eine ( reelle ) Nullstelle von gerader Ordnung wie ( 3b ) ist immer auch ein lokales Extremum. Und jetzt greifen wir zu einem Schmuddeltrick. In ( 1ab ) bauen wir einen Offset ein und unterdrücken das Absolutglied 49:

F  (  x  )  :=  f  (  x  )  -  49  =           (  5a  )

=  x  ^ 8  -  14  x  ^ 4  =    (  5b  )

=  x  ^ 4  (  x  ^ 4  -  14  )     (  5c  )

Wieder gilt: Eine 4-fache Nullstelle der Ausgangsfunktion ist immer noch eine 3-fache von f '  , womit wir jetzt alles beisammen haben:

f  '  (  x  )  =  x  ³  (  x  ^ 4  -  7  )      (  6  )

Zugegeben eine sehr originelle Art, eine Ableitung zu berechnen. Natürlich ist der Ursprung als 4-fache Nullstelle wieder ein Extremum

X1;2;3;4  =  0      (  7a  )

Zur Unterscheidung habe ich absichtlich " groß X " gewählt für die Nullstellen von " groß F "  Dann hast du in ( 3b;5c ) noch

X5  =  x4  *  2  ^ 1/4     (  7b  )

Die Grobskizze vergesst ihr immer wieder. Wegen der Symmetrie reicht es, wenn du von Rechts kommst. Jedes Polynom kommt asymptotisch von ( + °° )  Dann hast du bei X5 einen Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus; offensichtlich stellt der Ursprung ein Maximum dar.

0  <  x  (  w  )  <  x  (  min  )  <  X5     (  8  )

Und wegen ( 6 )  stimmt  x ( min ) mit x4  in ( 3b ) überein. Du siehst; du bedarfst durchaus keines TR, um  Ungleichung ( 8 ) zu überprüfen.

Und die 2. Ableitung bilden wir aus  ( 6 )  mit der Methode des ===> logaritmischen Differenzierens; das vermindert die Rechenstufe.

ln  (  y  '  )  =  3  ln  (  x  )  +  ln  (  x  ^ 4  -  7  )      (  9a  )

y  "  /  y  '  =  0  =  3  /  x  +  4  x  ³  /  (  x  ^ 4  -  7  )     ===>   x  (  w  )  =  3  ^ 1/4          (  9b  )