Definition und Abgrenzung von: Abgeschlossen, Beschränkt, Endlichdimensional und Kompakt.

Question

kann mir jemand näher erläutern wie sich die Begriffe: "Abgeschlossen, Beschränkt, Endlichdimensional, Kompakt, und Offen", zueinander Verhalten, was sie voneinander Abgrenzt und was sie genau bedeuten.
Evtl anhand eines Bespieles?

Ich beschäftige mich gerade mit dem "Satz von Bolzano-Weiterstraß", Banach-Räumen, und dem Banachschem Fixpunktsatz.

Comments

Schau vielleicht schon mal hier rein:

https://www.mathelounge.de/39520/eigenschaften-menge-kompakt-offen-oder-enthalt-randpunkte

und bei andern 'ähnlichen Fragen'. (Hatte die Begriffe in der Wikipedia nachgeschaut).
Bei Bedarf könntest du auch direkt nach den folgenden Begriffen suchen:

"Satz von Bolzano-Weiterstraß", Banach-Räumen, und dem Banachschem Fixpunktsatz

Nehme allerdings an, dass du zu euren aktuellen Themen eigene Unterlagen hast.

Via Stichwort (Tag) Banach:

https://www.mathelounge.de/32517/beschrankte-abgeschlossene-menge-kleiner-als-zeigen-gibt

Leider eine bisher unbearbeitete Frage.

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Hätte es denn Sinn, noch darauf zu antworten?

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@Che Netzer: Das kann vielleicht Nouse beurteilen. Fragen, die keinen Sinn machen, kann man hier melden:

https://www.mathelounge.de/38008/aufraumzeit-welche-offenen-fragen-sollen-geschlossen-werden

Answer 1

Der Begriff "endlichdimensional" passt nicht ganz in die Liste, das ist nämlich eine Eigenschaft von Vektorräumen. Man kann höchstens aussagen, dass abgeschlossene beschränkte Mengen in endlichdimensionalen normierten Räumen kompakt sind.

Wenn es dir ansonsten um die Räume ℝⁿ mit der Standardtopologie geht: Kompaktheit impliziert Abgeschlossenheit und Beschränktheit, Mengen, die gleichzeitig abgeschlossen und beschränkt sind, sind kompakt und die leere Menge und ℝⁿ selbst sind die einzigen Mengen, die (in ℝⁿ) abgeschlossen UND offen sind – alle anderen können nicht beides gleichzeitig sein.

Und als Beispiele: [0,1] ist kompakt, (-∞,0] ist abgeschlossen, (-∞,0) und (0,1) sind offen und [0,1) ist beschränkt.

Comments

Hi schonmal vielen dank das hat mir schon alles sehr geholfen. Mir ist nur noch nicht klar wodurch sich abgeschlossen und kompakt unterscheiden. Jede abgeschlossene Menge die mir einfällt ist kompakt.

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Inwiefern ist denn die von Ché Netzer angeführte Menge

(-∞,0] ist abgeschlossen,

Beschränkt? Vgl. hier https://de.wikipedia.org/wiki/Kompakte_Menge

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OK also ich glaube ich habe es jetzt verstanden.

*ACHTUNG EVTL KOMPLETT FALSCH*

Ich versuche es mal ein laienhafte Worte zu fassen und sagt mir wenn ich Irre.

Bei der Abgeschlossenheit betrachtet man das Intervall oder die (Teil)-Menge immer,
im "Raum" in der sie sich befindet. bei [0,1] ist das nun Beispielsweise ℝ.
ℝ ist abgeschlossen. Das Komplement einer abgeschlossenen Menge ist offen.
Daher ist die Leere Menge offen.
Betrachtet man nun [0,∞) ist diese abgeschlossen in ℝ.  
Es gibt auch Weder-Noch Fälle wie: (0,1]. In diesem Fall ist das Komplement auch ein Weder-Noch-Fall.

->Frage: dann müsste doch (-∞,0) offen sein? Wenn [0,∞) abgeschlossen ist [0,∞)^c = ℝ \ [0,∞) = (-∞,0) was widersprüchlich ist für den Fall das (-∞,0] abgeschlossen ist.

 

Im Gegensatz zur Abgeschlossenheit bezieht sich die Beschränktheit immer auf die Menge selbst.
Ist das Supremum und Infimum der Menge (kleinste Obere / Untere - Schranke) Teil also ∈ der Menge dan ist diese beschränkt. Sie muss also klar definier(te)/(bare) Grenzen haben die Teil von ihr Selbst sind und keine ungeigentlichen Grenzwerte sind. 

 

Kompakt ist dann alles was beschränkt und abgeschlossen ist.

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Ja, (-∞,0) ist offen, hatte ich oben auch geschrieben. Und ja, (-∞,0] ist abgeschlossen. Lass dich nicht davon irritieren, dass die linke Klammer rund ist. Oder siehst du da einen anderen Widerspruch?

"Ist das Supremum und Infimum der Menge (kleinste Obere / Untere - Schranke) Teil also ∈ der Menge dan ist diese beschränkt."
Dann besitzt die Menge ein Maximum bzw. Minimum. Das impliziert zwar tatsächlich Beschränktheit, aber nicht jede beschränkte Menge besitzt Maximum und Minimum. [0,1) z.B. besitzt kein Maximum.
Eine nichtleere Menge (in den reellen Zahlen) ist genau dann beschränkt, wenn Supremum und Infimum dieser Menge endlich sind, d.h. in ℝ und nicht in {-∞,∞} liegen.

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Hi.  
Jetzt ist fast alles klar nur das mit (-∞,0)_

Ja also in meinem Verständnis von R als einem Zahlenstrahl habe ich im Rahmen der Abgeschlossenheit mit (-∞,0] "links wie rechts alle Zahlen im Intervall drinnen".

Mit (-∞,0) nehme ich doch nur die 0 raus, und müsste doch ein = Weder Noch erhalten,

so wie es bei [0,1] >>>> [0,1) wäre?

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Mit der Abgeschlossenheit von (-∞,0] hast du also keine Probleme?

Und dass die reellen Zahlen, also (-∞,∞) offen UND abgeschlossen sind, ist auch in Ordnung?

Jedenfalls ist der Unterschied von (-∞,0) zu [0,1) der, dass im ersten Intervall kein Randpunkt enthalten ist. Ein Intervallende im Unendlichen kannst du als eine Art "Joker" ansehen; das passt zu offenen und zu abgeschlossenen Intervallen.
Ansonsten müsste ich aber wissen, wie ihr Abgeschlossenheit und Offenheit definiert habt (oder welche Charakterisierungen ihr am meisten benutzt), um nähere Erklärungen zu geben.

Die reellen Zahlen bilen übrigens eine Gerade, keinen Strahl.

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Also ich hatte angenommen : (-∞,∞) für R = offen wäre Definition. Dass beides gilt war mir nicht bewusst.
Von daher habe ich die uneigentlichen "Grenzen" aus der Definition hingenommen wodurch sich [0, ∞) = abgeschlossen für mich erschlossen hat.

Definiert wurde die Abgeschlossenheit mit dem "Kugel" bzw. Radius Ansatz.

Schon einmal ein großes Dankeschön für deine Hilfe.

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Na dann kannst du die Offenheit von (0,∞) zeigen, indem du für ein x₀ aus diesem Intervall r = 1/x₀ wählst. Das rechte Intervallende kann hier nicht stören wie bei (0,1].

Wenn du weißt, dass Vereinigungen offener Mengen offen sind, kannst du auch (0,n) für n in ℕ vereinigen.

Die Offenheit der reellen Zahlen selbst kannst du ähnlich zeigen; da kannst du den Radius r aber vollkommen beliebig wählen.