<< Ich sitze an einer Kurvendiskussion ( KD ) die ich auch gut kann ( der Ablauf ist mir vertraut).
Ist dir auch vertraut, was ICH dir zu sagen habe? Dein Polynom hat gerade Symmetrie; beschränken wir uns auf die rechte halbe Bene .
f ( x ) := p ² ( x ) ( 1a )
p ( x ) := x ^ 4 - 7 ( 1b )
Welche Nullstellen hat ( 1b ) ?
x ^ 4 = 7 | sqr ( 2a )
x1 ² = - sqr ( 7 ) | sqr ( 2b )
x2 ² = sqr ( 7 ) | sqr ( 2c )
z1;2 = +/- i * 7 ^ 1/4 ( 3a )
x3;4 = -/+ 7 ^ 1/4 ( 3b )
Ganz bewusst habe ich die ===> komplexen ( bzw. imaginären ) Lösungen mit herein genommen, damit du siehst, dass das Polynom p ( x ) VIER EINFACHE Wurzeln hat ===> Fundamentalsatz der Algebra. Das kann man sich auch noch anders klar machen. Betrachte die erste Ableitung
p ' ( x ) = 4 x ³ ( 4 )
Diese verschwindet nicht in ( 3ab ) - notwendig und hinreichend für einfache Nullstelle.
Nun geht aber f ( x ) in ( 1a ) mit p QUADRAT , d.h. sämtliche 4 Wurzeln ( 3ab ) sind doppelt in f ( x ) Eine doppelte Wurzel von f ist aber immer noch eine einfache der Ableitung f ' ( x ) Damit haben wir schon vier Nullstellen von f ' ===> p ist Faktorpolynom von f ' ( x ) Als Ableitung eines Polynoms 8. Grades ist f ' ( x ) selbst vom 7. Grade; uns fehlen demnach noch 3 Nullstellen. Woher schnitzen wir uns die?
Erwähnt sei ferner: Eine ( reelle ) Nullstelle von gerader Ordnung wie ( 3b ) ist immer auch ein lokales Extremum. Und jetzt greifen wir zu einem Schmuddeltrick. In ( 1ab ) bauen wir einen Offset ein und unterdrücken das Absolutglied 49:
F ( x ) := f ( x ) - 49 = ( 5a )
= x ^ 8 - 14 x ^ 4 = ( 5b )
= x ^ 4 ( x ^ 4 - 14 ) ( 5c )
Wieder gilt: Eine 4-fache Nullstelle der Ausgangsfunktion ist immer noch eine 3-fache von f ' , womit wir jetzt alles beisammen haben:
f ' ( x ) = x ³ ( x ^ 4 - 7 ) ( 6 )
Zugegeben eine sehr originelle Art, eine Ableitung zu berechnen. Natürlich ist der Ursprung als 4-fache Nullstelle wieder ein Extremum
X1;2;3;4 = 0 ( 7a )
Zur Unterscheidung habe ich absichtlich " groß X " gewählt für die Nullstellen von " groß F " Dann hast du in ( 3b;5c ) noch
X5 = x4 * 2 ^ 1/4 ( 7b )
Die Grobskizze vergesst ihr immer wieder. Wegen der Symmetrie reicht es, wenn du von Rechts kommst. Jedes Polynom kommt asymptotisch von ( + °° ) Dann hast du bei X5 einen Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus; offensichtlich stellt der Ursprung ein Maximum dar.
0 < x ( w ) < x ( min ) < X5 ( 8 )
Und wegen ( 6 ) stimmt x ( min ) mit x4 in ( 3b ) überein. Du siehst; du bedarfst durchaus keines TR, um Ungleichung ( 8 ) zu überprüfen.
Und die 2. Ableitung bilden wir aus ( 6 ) mit der Methode des ===> logaritmischen Differenzierens; das vermindert die Rechenstufe.
ln ( y ' ) = 3 ln ( x ) + ln ( x ^ 4 - 7 ) ( 9a )
y " / y ' = 0 = 3 / x + 4 x ³ / ( x ^ 4 - 7 ) ===> x ( w ) = 3 ^ 1/4 ( 9b )
