Wende mal auf beide Integrale die Regel der partiellen Integration an und subtrahiere die
entstehenden Gleichungen voneinander. Dann siehst du, dass f*g' - g*f' eine Stammfunktion für
f * g '' - g * f '' ist.
Das kannst du natürlich auch direkt beweisen, etwa so:
( f *g ' - g *f ' ) ' = ( f * g '' + f ' * g ' ) - ( g * f '' + g ' * f ' ) = ....... = f * g '' - g * f ''
Jetzt bringst du in deiner gegebenen Gleichung beide Integral auf die linke Seite
und fasst sie zu einem Integral zusammen, dann hast du das Integral von a bis b
über f * g '' - g * f ''.
Da du ja jetzt eine Stammfunktion kennst, brauchst du nur a und b einzusetzen und
weil f(a) und g(a) und f(b) und g(b) jeweils Null sind, kommt Null heraus.
Wenn aber die Differenz der Integrale Null ist, sind beide gleich. q.e.d.