Zweistellige Relation R = {(x, y) ∈ [0; 2·pi] x [0; 2·pi] | y = sin(x)}

Question

Gegeben ist die zweistellige Relation \( R=\{(x, y) \in[0 ; 2 \pi] \times[0 ; 2 \pi] ~ \square y=\sin (x)\} \)

1) Geben Sie die Elemente der Relation an für \( x_{1}=0 ; x_{2}=\pi, x_{3}=5 \pi \sqrt 4 ; x_{4}=7 \pi / 4 \).

2) Handelt es sich bei \( R \) um eine Funktion? (bitte begründen)

Answer 1

a) 

Die gefragten Elemente von R sind, wenn man einfach mal den sinus ausrechnet:

 (0, 0), (π,0), (5π/4 , -1/√2), (7π/4, - 1/√2) 

Nun dürfen die y aber nur aus [0, 2π) stammen. Daher bleiben nur

(0, 0) , (π, 0)

Wie bei einer Funktion wird mit sinus den Elementen des Wertebereichs eindeutig ein Element zugeordnet. Aber nicht alle zurgeordneten Werte liegen im Bildbereich. Daher keine Funktion.

Comments

Warum bleiben nur 2 Bildpunkte übrig?

---

"Warum bleiben nur 2 Punkte übrig?"

Steht oben:

"(5π/4 , -1/√2), (7π/4, - 1/√2) 

Nun dürfen die y aber nur aus [0, 2π) stammen."

Bei (5π/4 , -1/√2) und (7π/4, - 1/√2) ist y<0.

Beachte die Terminologie:

Sogenannt zweistellige Relationen haben Elemente, die 2 Komponenten haben. Du kannst sie hier als Punkte ansehen. Du darfst sie aber nicht Bildpunkte nennen. https://de.wikipedia.org/wiki/Relation_(Mathematik)#Beispiel

Erst bei b) wo nach Funktionen gefragt ist, musst man überlegen, wie und ob man von einer Komponente eindeutig auf die andere kommt. 

Du musst hier die Definitionen in euren Unterlagen buchstabengetreu umsetzen.