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Wir sollen Funktionsgleichungen aufstellen, was wir bisher immer durch das Additionsverfahren gemacht haben, jetzt kommt eine Aufgabe wo das nicht geht, außer man weiß, dass man für a irgendwas einsetzen kann.

Ich dachte a entscheidet darüber, ob die Parabel gestaucht oder gestreckt, bzw. nach wohin sie geöffnet ist, wieso kann man da einfach einsetzen was man will?

Bisher haben wir a nämlich immer berechnet, indem wir zuerst b und c rausgerechnet haben und dann nur noch a als Unbekannte hatten, dann a in eine Formel, wo a und b fehlten, eingesetzt und zum Schluss a und b eingesetzt, um c herauszubekommen.


Meine Rechnung:

\( f(x)=a x^{2}+b x+ c \)
\( A(4|0) ~ B(2|0) ~ Sp ~ x = 3 \)

\( f^{\prime}(3)=0 \)
\( f(4)=0 \)
\( f(2)=0 \)

\( f(x) = ax^{2} + bx + c \)
\( f^{\prime}(x)= 2ax+b \)

I: \( f^{\prime}(3)=6 a+b=0 \)
II: \( f(4)=16 a+4 b+c=0 \)
III: \( f(2)=4 a+2b + c =0\)

\( II-III : 12 a+26 = 0 \quad |-2b \)
\( 12 a=-2b \quad |:2 \)
\( -6a = -b \quad |:(-1) \)
\( -6a = b \)

II: \( 16 a-24 a+c=0 \)
\( -8 a=-c \quad \mid ·(-1) \)
\( 8 a=c \)

\( a=1 \)  \( b=-6 \)  \( c=8 \)

\( f(x)=x^{2}-6 x+8 \)

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2 Antworten

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Ich kann verstehen, dass dich die Frage und deine eigene Antwort
etwas irritieren.

Was ist dir gegeben : die beiden Nullstellen
und die x-Koordinate des Scheitelpunkts.

Die 3. Angabe ist überflüssig da eine Funktion 2.Grades immer
symmetrisch ist und der Scheitelpunkt bei x = 3 ( die Mitte zwischen
den beiden anderen Punkten ) liegen muß.

Es gibt unendlich viele Parabelen deren Nullstellen bei
x = 2 und x = 4 sind. Nach oben geöffnete oder nach unten
geöffnete Parabeln. Der Funktionswert für den Scheitelpunkt
bei x = 3 kann auch beliebig sein.. y = 1, y = 4,y =-4

Es gibt also nicht nur eine Lösung.

Wenn man für die Koordinate des Scheitelpunkts z annimmt
also ( 3  | z ) kann man a,b,c der Funktion in Abhängigkeit
von z aufstellen.

Avatar von 123 k 🚀
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Du erhältst für "II - III"

$$b=-6a$$

und aus I folgt

$$b = -6a \ .$$

Setzt du beide Gleichungen gleich, was ja geht, da auf beiden Seiten "b=" steht, erhältst du:

$$-6a = -6a \ .$$

Diese Gleichung ist für alle a erfüllt, also kannst du einsetzen was du möchtest (außer a=0).

Avatar von 1,6 k

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